九年级数学上点拨与精练第22章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax^2+ bx+c的图像和性质（微专题二）（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
微专题二 二次函数的图像和各项系数的关系
老师告诉你
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
解题策略：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
例1-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
例1-2．一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
针对训练1
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
解题策略：(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
例2-1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣，下列结论：①ab＜0；②a﹣b+c＜0；③3b＝2a；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2-2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
针对训练2
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型三 、二次函数有关最值问题
1.没有限定自变量的范围求最值
解题策略：若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
例3-1．二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2
针对训练3
1．二次函数y＝（x﹣1）2+3的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
3．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　）
A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4 C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4
2.限定自变量的取值范围求最值
解题策略：若限定了自变量的取值范围，顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点处的函数值最大（最小），若顶点横坐标不在自变量取值范围内，端点处的函数值最大或最小.
例3-2．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是（　　）
A．7 B．4 C．6 D．3
针对训练4
1．已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　）
A．n有最大值4，最小值1
B．n有最大值3，最小值
C．n有最大值3，最小值1
D．n有最大值3，最小值
2．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（　　）
A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2
3．已知y＝2x﹣8，S＝xy，当﹣1≤x≤3时，则S的最大值为 　10　．
【分析】首先求出S的函数解析式，然后由﹣1≤x≤3进一步得出S的取值范围即可．
类型四 、已知函数的最值，求待定系数的值
解题策略：首先判定顶点横坐标是否在取值范围内，一般地这类问题中顶点横坐标不在取值范围内，注意取值范围在对称轴左侧，对称轴右侧分类讨论。
例4-1．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
针对训练5
1．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或
2．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．1
3．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
类型五、利用二次函数的对称性求最短路径
解题策略：利用二次函数对称性确定最短路径，根据一次函数性质，几何知识求最短路径。
例5-1 .如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
针对训练6
1 .如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
2 .已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
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二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
微专题二 二次函数的图像和各项系数的关系
老师告诉你
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
解题策略：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
例1-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
例1-2．一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝cx﹣a图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+x+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
针对训练1
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故C正确；
D、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
a＞0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点（0，a），
a＜0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点（0，a）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
解题策略：(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
例2-1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣，下列结论：①ab＜0；②a﹣b+c＜0；③3b＝2a；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴方程可判断a、b同号，判断①错误；代入x＝﹣1结合图象可判断②错误；由对称轴方程可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确．
【解答】解：①，a、b同号，故ab＞0，原结论错误；
②当x＝﹣1时，由图象可知y＞0，即a﹣b+c＞0，原结论错误；
③由对称轴可知，
∴2a＝3b，原结论正确；
④当时，由图象可知y＞0，即，整理得a+4c＞2b，原结论正确．
所以，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
例2-2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0
∴abc＞0，故①正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．
∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），
且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
针对训练2
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：开口向下，a＜0；
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确，符合题意；
当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，
所以②不正确，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，
则y＝4a+2b+c＞0，
所以③正确，符合题意；
，则，而a﹣b+c＜0，
则，2c＜3b，
所以④正确，符合题意；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
则a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞m（am+b）（m≠1），
所以⑤错误，不符合题意．
故①③④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
2．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故②错误；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故④正确，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象得a＞0，c＜0；根据抛物线与x轴有两个交点得Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；根据当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0，又因为c＜0则a+b+2c＜0；根据抛物线对称轴是直线得b＝﹣2a，根据当x＝﹣1时，y＞0，即可得a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，可得3a+c＞0；综上，即可得．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵c＜0，
∴a+b+2c＜0；
∵抛物线对称轴是直线，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
则a+2a+c＞0，3a+c＞0；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质．
类型三 、二次函数有关最值问题
1.没有限定自变量的范围求最值
解题策略：若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
例3-1．二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：在二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7中，a＝﹣1＜0，顶点坐标（2，7），
则函数y＝﹣（x﹣2）2+7有最大值7．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值，正确记忆相关知识点是解题关键．
针对训练3
1．二次函数y＝（x﹣1）2+3的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【分析】根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3的开口方向向上，且顶点坐标是（1，3），
∴该函数有最小值，最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数有最小值，
∴＝﹣7，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．
3．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　）
A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4 C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1＝﹣，即b＝﹣2；①
﹣3＝，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．
4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　2　．
【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上
∴且a﹣1＞0，
整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1，
解得a1＝2，（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键．
2.限定自变量的取值范围求最值
解题策略：若限定了自变量的取值范围，顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点处的函数值最大（最小），若顶点横坐标不在自变量取值范围内，端点处的函数值最大或最小.
例3-2．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是（　　）
A．7 B．4 C．6 D．3
【分析】根据题意用含b的代数式表示a，将代数式转化为只含b的代数式，配方后，求最值即可．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴a＝b﹣1，
∴a2﹣4b+11＝（b﹣1）2﹣4b+11
＝b2﹣2b+1﹣4b+11
＝b2﹣6b+12
＝（b﹣3）2+3；
∵b≥4，
∴当b＝4时，（b﹣3）2+3的值最小为4；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数求最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
针对训练4
1．已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　）
A．n有最大值4，最小值1
B．n有最大值3，最小值
C．n有最大值3，最小值1
D．n有最大值3，最小值
【分析】依据题意，由m+n＝2，从而n＝2﹣m＝﹣（a﹣1）2+3，进而根据二次函数的性质可得，﹣≤n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解．
【解答】解：由题意，∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m＝2﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣1）2+3．
又当a＝0时，n＝；a＝4时，n＝﹣；a＝1时，n取最大值为3．
∴当0≤a≤4时，﹣≤n≤3．
∵1≤b≤4，
∴≤≤1．
∴1≤≤4．
∴1≤n≤4．
又﹣≤n≤3，
∴1≤n≤3．
∴n有最大值3，最小值1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要能熟练掌握并能灵活进行变形配方是关键．
2．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（　　）
A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2
【分析】①当t≤﹣1时，抛物线在x＝t时，取得最小值，即可求解；②当﹣1＜t＜1时，再分﹣1＜t＜0、0≤t＜1两种情况分别求解；③当t≥1时，同理可解．
【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+1，
当x＝t时，y＝﹣t2+2t+1，
当x＝t+2时，y＝﹣（t+2）2+2（t+2）+1＝﹣t2﹣2t+1；
①当t≤﹣1时，
抛物线在x＝t时，取得最小值，
即y＝﹣t2+2t+＝﹣7，
解得：t＝4（舍去）或﹣2，
故t＝﹣2；
②当﹣1＜t＜1时，
当﹣1＜t＜0时，
抛物线在x＝t时，取得最小值，
即y＝﹣t2+2t+1＝﹣7，
解得：t＝﹣4（舍去）或2（舍去），
当0≤t＜1时，
抛物线在x＝t+2时，取得最小值，
即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7，
解得：t＝4或﹣2（舍去）；
③当t≥1时，
抛物线在x＝t+2时，取得最小值，
即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7，
解得：t＝﹣4（舍去）或2，
即t＝2，
综上，t＝2或﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，二次函数的性质，分类求解是本题解题的关键．
3．已知y＝2x﹣8，S＝xy，当﹣1≤x≤3时，则S的最大值为 　10　．
【分析】首先求出S的函数解析式，然后由﹣1≤x≤3进一步得出S的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝2x﹣8，
∴S＝xy＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8，
∵﹣1≤x≤3，
∴当x＝2时，函数S有最小值，等于﹣8，当x＝﹣1时，由最大值2×（﹣1﹣2）2﹣8＝10；
故答案为：10．
【点评】此题考查二次函数的最值，利用配方法求得二次函数最值是常用的基本方法．
类型四 、已知函数的最值，求待定系数的值
解题策略：首先判定顶点横坐标是否在取值范围内，一般地这类问题中顶点横坐标不在取值范围内，注意取值范围在对称轴左侧，对称轴右侧分类讨论。
例4-1．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【分析】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x＝1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h，二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x＝3时，y取得最小值5，进而求出h的值．
【解答】解：h的值不可能在1到3之间，
当h＜1≤x≤3时，
当x＝1时，y取得最小值5，
（1﹣h）2+1＝5，
h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去），
当1≤x≤3＜h，
当x＝3时，y取得最小值5，
（3﹣h）2+1＝5，
h＝5或h＝1（不合题意，舍去），
故选：B．
【点评】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键．
针对训练5
1．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或
【分析】先求出对称轴为x＝1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，
∴对称轴为直线x＝1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝4；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3和m≥3两种情形进行讨论即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线开口向下，当x＜m时，y随x的增大而增大，当x＞m时，y随x的增大而减小．
①当﹣1＜0＜m＜3时，此时x＝m时，y取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去）．
②当m≥3时，当x＝3时，y取最大值为﹣9+6m﹣3＝1，
∴m＝＜3，不合题意．
综上，m＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m＝；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m＝＜2，即可求得m＝．
【解答】解：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1），
∴图象f的对称轴为直线x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0，
解得m＝，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0，
解得m＝（不合题意，舍去），
综上，m＝．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
类型五、利用二次函数的对称性求最短路径
解题策略：利用二次函数对称性确定最短路径，根据一次函数性质，几何知识求最短路径。
例5-1 .如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
【答案】D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
针对训练6
1 .如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据OA＝2，OC＝6，求得的坐标，进而待定系数法求解析式即可；
（2）先由抛物线解析式求得对称轴，根据抛物线的对称性可得关于对称轴对称，求得点的坐标，设与抛物线对称轴的交点为，根据ACD的周长为，则点与重合时，ACD的周长最小,根据的坐标求直线的解析式，进而根据与抛物线对称轴交点即可求得点的坐标
【详解】（1）解：∵OA＝2，OC＝6，
∴，代入y＝x2+bx+c
，解得
抛物线的解析式为
（2）由抛物线的解析式为，对称轴为
关于对称，
设与抛物线对称轴的交点为，
ACD的周长为，
则点与重合时，ACD的周长最小,
设直线的解析式为,
则，解得
为与的交点，
令，
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．
2 .已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点评】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
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