(共16张PPT)
函数的奇偶性
引言
大自然中孕育着美
对称美
学生活动
-1
-1
1
0
x
y
y=︱x︱-1
观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性.
图象关于y轴对称
x
y
O
1
1
y=x2
-1
数学理论
x
y
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
8
f(1)=_____;
f(-1)=_____;
f(2)=_____;
f(-2)=_____;
f(x)=x2
1
1
4
4
f(x0)=_____;
f(-x0)=_____;
f(x0)= f(-x0)
以二次函数为例
----偶函数
数学理论
x
y
O
y = f(x)
你发现了什么？
x0
-x0
点A关于y轴的对称点A’的坐标是_____________.
(-x0，f (x0))
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗？
点A’的坐标还可以表示为______________.
(-x0，f (-x0))
A(x0，f (x0))
A’
数学理论
f(x)=x3
y
x
o
x0
P/(- x0 ,f(- x0))
p(x0 ,f(x0))
- x0
y
x
O
x0
-x0
观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性.
p(x0 ,f(x0))
p(-x0 ,f(-x0))
f(x0)=-f(-x0)
----奇函数
图象关于原点对称
数学应用
根据下列函数图象，判断函数的奇偶性.
-1
-1
1
0
x
y
-1
-1
1
0
x
y
-1
-1
1
0
x
y
奇函数
偶函数
偶函数
图象法
1
2
数学理论
如果对于任意的 x∈A ,都有f(x)=f(-x),那么称函数y=f(x) 是偶函数.
偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性？
如果对于任意的 x∈A ,都有f(x)=-f(-x),那么称函数y=f(x) 是奇函数.
如果函数是奇函数或偶函数，就说此函数具有奇偶性.
一般地,设函数y=f(x) 的定义域为A.
数学应用
例1. 判断下列函数的奇偶性
⑴f(x)=x2-1; ⑵f(x)=2x;
⑶f(x)=2|x|; ⑷f(x)=(x-1)2.
解:⑴函数f(x)=x2-1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有
f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
⑵奇函数; ⑶偶函数;
数学应用
⑷f(x)=(x-1)2;
解:函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,
所以f(1)≠f(-1), f(1)≠-f(-1).
因此,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数也不是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立.
函数的奇偶性是“整体性质”，要说明函数不具有奇偶性只需举一反例即可.
数学应用
练习. 判断下列函数的奇偶性
∴f(x)为奇函数.
解：定义域为{x|x≠0},
= - f(x),
(2) f(x)=5;
y
o
x
5
解: f(x)的定义域为R,
∵ f(-x)=f(x)=5,
∴f(x)为偶函数.
数学应用
解: 定义域为R ,
∵ f(-x)=0=f(x) ,
又 f(-x)= 0 = -f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
o
y
x
(3) f(x)=0;
解: 定义域为 [0 ,+∞),
∵ 定义域不关于原点对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
函数f(x)=0 (定义域关于原点对称）
既是奇函数又是偶函数.
如函数： .
课内练习
教材第40页，练习1，2，3，4.
回顾反思
本节课主要学习了函数奇偶性的定义，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的奇偶性，从中体会了数形结合的思想.
课后作业
1.教材第40页，练习5、6 .
2.教材第43页，第5题、第9题.
3.判断下列函数的奇偶性：
⑴
⑵
⑶
