湖南省长沙市长雅中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试卷（pdf版，无答案）

长沙市 2024 年长雅中学九年级入学检测数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本
大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
y y y y
O x O x O x O x
A． B． C． D．
2．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 2
2
3．对于二次函数 y = (x 1) + 2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 x = 1 C．顶点坐标是 (1,2) D．最大值是 2
4．下列说法不正确的是（ ）
A．点 A( 1,2)在第二象限 B．点 P ( 2, 3)到 y 轴距离为 2
C．若点 A(a 1,a 2)在 x 轴上，则 a =1 D．点 A( 3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标是 ( 3, 2)
5．某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是 x，经过两次降价后售价由 298 元降到了 268
元，根据题意可列方程为（ ）
2 2
A． 298(1 x2 ) = 268 B． 298(1+ x) = 268 C． 298(1 2x) = 268 D． 298(1 x) = 268
2
6．将二次函数 y = (x +1) 2的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次函数解析
式是（ ）
2 2 2 2
A． y = (x 1) 5 B． y = (x 1) +1 C． y = (x + 3) +1 D． y = (x + 3) 5
7．如果二次函数 y = ax2 + c的图象如下左图所示，那么一次函数 y = ax + c的图象大致是（ ）
y y y y y
O x O x O x O x
O x
A． B． C． D．
{#{QQABCAYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}
y = kx + b
8．如右图，直线 y = kx + b和直线 y = mx + n相交于点 (3, 2)，则方程组 的解是（ ）
y = mx + n
x = 3 x = 2 x = 3 x = 3
A． B． C． D．
y = 2 y = 3 y = 2 y = 2
y
y
y O x
y=kx+b y=mx+n B
3 A B
O x -1 O 3 x
-2 AC
D
（第 8 题图） （第 10 题图） （第 14 题图）
9．关于 x 的一元二次方程 kx2 4x + 4 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． k 1且 k 0 B． k 1 C． k 1且 k 0 D． k 1
10．如图抛物线 y = ax2 + bx + c 交 x 轴于 A( 1,0)， B (3,0)，交 y 轴的负半轴于 C，顶点为 D．下列结论：
1
① 2a + b = 0 ；② 2c 3b；③当m 1时， a + b am2 + bm ；④当 ABD 是等腰直角三角形时，则 a = ；⑤
2
当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分）
x
11．函数 y = 的自变量 x 的取值范围是_________．
x 1
12．某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为 70 分，综合知识为 80 分，语
言表达为 90 分，如果将这三项成绩按 4：3：3 计入总成绩，则他的总成绩为_________分．
13．若菱形的周长为 24cm，一个内角为 60°，则菱形的面积为_________cm2．
14．如图，抛物线 y = ax2 + bx 与直线 y = mx + n 相交于点 A( 3, 6)，点 B(1, 2) ，则关于 x 的不等式
ax2 + bx mx + n 的解集为_________．
M
15．如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，分别以点 A 和点 C A
E
B
1
为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 O
2
D C
MN，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，连接 CE，若 AD = 6 ，△BCE 的周 N
长为 14，则 CD 的长为_________．
16．已知 x ，x 是关于 x 的一元二次方程 x2 + 3x + m = 0 的两个实数根，且满足 x21 2 1 + x
2
2 = m
2 6 ，则 m 的值
{#{QQABCAYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}
为_________．
三、解答题（共 9 个小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1
1 2
17．（6 分）计算： 4 + 0 ( 2 ) + 2024
3
18．（6 分）解一元二次方程：
（1） 2x2 4x 1= 0； （2） x(x 1) + 3(x 1) = 0 ．
19．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 (m + 2) x + 2m 1= 0 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一根为 1，求 m 的值和该方程的另一个根．
{#{QQABACYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}
20．（8 分）为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选
报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息，
解答下列问题：
人数
（1）计算扇形图中 a 的值，并补全条
形图； 60 6个
50 a
（2）分别写出在这次抽测中，测试成 5个40 30%
绩的众数为_____个，中位数为_____ 30 20%
20 15% 7个及
个；
10 4个 以上
（3）若在体育中考在学校选报引体向 0 3个
3个 4个 5个 6个 7个及 测试成绩 10%
上的男生共有 800 人，按照长沙市体 以上
育中考标准，引体向上完成 6 个，该
项即可得到 14 分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得 14 分及以上的有多少人？
21．（8 分）如图，直线经 y = k + b过点 A( 4,0)， B (2,6)．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）已知直线CE : y = 3x 6 ，求直线 CE 与直线 AB 及 y 轴围成的△CDE 的面积．
y
6
B
D
C
A
-4 O 2 x
E
22．（9 分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．市场调查发现，这种双肩包每
天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系： y = x + 60 (30 x 60)．设这种双肩
包每天的销售利润为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数解析式；
（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的
销售利润，销售单价应定为多少元？
{#{QQABCAYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}
23．（9 分）如图，O 为矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，EF⊥AC 于点 O，交 AD，BC 于点 E，F，连接 AF，
CE．
（1）求证：四边形 AECF 为菱形；
（2）若 AB = 2 ， BC = 4，求 AE 的长．
E
A D
O
B C
F
24．如图 1，抛物线 y = ax2 + bx 4 交 x 轴于点 A( 2,0)和点 B (4,0)，交 y 转于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 P 是直线 BC 下方抛物线上动点，连接 PC，PB 当△APC 的面积最大时，求点 P 的坐标及面积的
最大值；
（3）在（2）的条件下，若点 N 是直线 BC 上的动点，在平面内，是否存在点 Q，使得以 P、B、N、Q 分
别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．
y y
A O B x A O B x
C C
{#{QQABACYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}
25．（10 分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函
数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打
“×”。
① y = 2x（______）；③ y = 3x 1（______）．
（2）若点 A(1,m)与点 B(n, 4)是关于 x 的“H 函数” y = ax2 + bx + c (a 0)的一对“H 点”，且该函数的对
称轴始终位于直线 x = 2的右侧，求 a，b，c 的值或取值范围．
（3）若关于 x 的“H 函数” y = ax2 + 2bx + 3c（a，b，c 是常数）同时满足下列两个条件：① a + b + c = 0 ，
② (2c + b a)(2c + b + 3a) 0 ，求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的取值范围．
{#{QQABACYikEwggCQgAgJNBSAAACBZg4CLEwWI4CCggKuQQksBJCACiLAcgYkgxGQBCAPAKAAM4ADIQBYQFRAFBAIBAA=}A#=}}#}