2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.对于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下 B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线
5.如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
6.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是设每个支干长出个分支，则可列方程为( )
A. B. C. D.
7.若是方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将一元二次方程化成的形式为______．
12.把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．
13.当 ______时，关于的方程是一元二次方程．
14.已知方程的两根分别为和，则 ______．
15.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
16.二次函数的图象如图所示，下列结论：；时，随的增大而增大；；不等式的解集是，其中正确的是______填序号
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：
；
；
；
．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围；
若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
19.本小题分
已知二次函数．
函数的开口方向是______，对称轴是直线______；
函数的顶点式为______，与轴的交点坐标是______；
当 ______时，函数随的增大而增大；当______时，的值小于；
该二次函数与一次函数的交点坐标为______．
20.本小题分
年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱商场购进一批单价为元的“吉祥龙”公仔，并以每个元售出由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个元，此时每天可售出个．
若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
市场调查发现：销售单价每降低元，其销售量相应增加个那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．
求关于的函数关系式，并求出的最大值．
若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．
22.本小题分
已知是关于的函数，若其图象经过点，则称点为函数图象上的“周梅点”例如：直线上存在“周梅点”．
在直线上是否存在“周梅点”？若存在，请求出”周梅点”的坐标；若不存在，请说明理由；
若抛物线上有“周梅点”，且“周梅点”为和，求的最小值；
若函数的图象上存在唯一的一个“周梅点”，且当时，的最小值为，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.且
16.
17.解：；
，
，；
；
，
，
，；
；
，
原方程无实数根；
，
，
，
，．
18.解：由题意有，
整理得，
解得，
实数的取值范围是；
由两根关系，得，，
，
，
，
解得或
．
19.解：二次函数，
，，，
，对称轴，
二次函数的开口向下，对称轴为直线，
，
，
顶点式：；
当时，，
即，
，
，，
与轴的交点坐标为，
二次函数的开口向下，对称轴为直线，
当时，函数随的增大而增大，
二次函数的开口向下，与轴的交点坐标为，
当或时，的值小于，
，
解得或，
交点坐标为，．
20.解：由题意，设每次上涨的百分率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每次上涨的百分率为．
由题意，设每个售价为元，
每天的利润
．
当时，每天的最大利润为．
每个应降价元，即每个应降价元．
答：每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元．
21.解：设此抛物线的函数解析式为：
，
将，，三点代入函数解析式得：
解得，
所以此函数解析式为：；
点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
点的坐标为：，
，
，
，
当时，有最大值为：．
答：时有最大值．
设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
的横坐标等于的横坐标，
又直线的解析式为，
则．
由，得，
解得，，．
不合题意，舍去．
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，纵坐标为，代入得出为；
四边形为平行四边形则，横坐标为，代入得出为；
由此可得或或或．
22.解：在直线上存在“周梅点”；理由如下：
设点是直线上的“周梅点”，
，
，
直线上的“周梅点”为；
设抛物线“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入抛物线中得：
，
，
“周梅点”为和，
、是方程的两个根，
则，，
，
，
解得：，
，
，对称轴为直线，
当时，，
即的最小值为；
设函数“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入函数得：
，
，
存在唯一的一个“周梅点”，
，
，
这是一个关于的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大；
，当时，在对称轴右侧递增，
当时，有最小值为，
即，
，
，方程无解，
，当时，在对称轴左侧递减，
当时，有最小值为，
即，
解得：，舍，
当，当时，有最小值为，
，
，
综上所以述：的值为或．
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