2024-2025学年江西省宜春市丰城九中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市丰城九中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线
2.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为( )
A. B. C. D.
3.如图，绕点按顺时针方向旋转后与重合，连接，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，为的直径，点，在上若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
6.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而减小．其中结论正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．
8.将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位所得到的新抛物线解析式为______．
9.某小区规划在一个长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为米，则甬路的宽度为______米．
10.如图，四边形内接于，是直径，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数为______．
11.如图，已知矩形中，，，是以为直径的半圆上的一个动点，连接，则的最大值是______．
12.已知，正六边形的边长为，点在它的边上，当为等腰三角形时，的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.已知 关于的一元二次方程．
求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点．求证：．
15.本小题分
先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
16.本小题分
如图，在网格中每个小正方形的边长都是，线段的两个端点都在格点上，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
旋转过程中点运动的路径长为______；
在网格中用无刻度直尺作图：不写作法，保留作图痕迹
画出线段，则点的坐标为______；
作出的外心．
17.本小题分
一个不透明的口袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外完全相同．
判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；
现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？
18.本小题分
如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．
若，求的度数；
若，，求的长．
19.本小题分
由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包元涨到了每包元．
求出这两次价格上调的平均增长率；
在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包元，而且调查发现，定价为每包元时，一天可以卖出包，每降价元，可以多卖出包．当销售额为元时，为让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
20.本小题分
如图，点是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作，交线段于点．
求证：是的切线；
若，求阴影部分的面积．
21.本小题分
九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数是常数与是常数满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
函数的“旋转函数”是______；
若函数与互为“旋转函数”，求的值；
已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．
22.本小题分
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
如图，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则 ______，与的数量关系是______；
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
如图，在等腰三角形中，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，请直接写出的长．
23.本小题分
已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．
求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
若图象与轴的交点为、，与轴的交点，求的面积；
在对称轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点坐标；
在抛物线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点坐标；不存在，说出理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或
13.解：关于的一元二次方程，
恒成立，
故无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
根据勾股定理得：
因为两条直角边和恰好是这个方程的两个根，
则，，
因为，
即，
整理得：，即，
解得：，，
即即，
舍去，
则，
又因为，
则的周长．
14.证明：，为的半径，，分别为，的中点，
，．
在与中，
，
≌．
．
15.解：
，
是一元二次方程的根，
，
则原式．
16.；
如图所示，线段即为所求：
，，
；
如图点即为所求：
是直角三角形，即，
的外心即为的中点，
如图中所示，点即为所求
17.解：因为口袋中装有个红球和个白球，
所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，
所以它发生的概率是．
设取走了个白球．
由题意，得，
解得．
故取走了个白球．
18.解：如图，连接．
，，
．
，
，
，
．
又，
．
如图，过点作，垂足为．
，，，
．
又，
，
．
，，
．
19.解：设这两次价格上调的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次价格上调的平均增长率为；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大的优惠，
的值为．
答：每包应该降价元．
20.证明：过作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
21.
【解析】解：由函数知，，，，
，，，
，，，
，
故答案为：；
解：根据题意得：，解得，
；
证明：化简得，
则、、三点的坐标分别为，，，
、、三点关于原点对称的点坐标分别为，，，
经过、、三点的函数解析式为，
与原函数是旋转函数．
22.解：；．
由旋转的性质，可知≌，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
．
或．
23.解：，
又抛物线顶点纵坐标为，
，
解得：或此时顶点不在第三象限，舍去，
抛物线的函数表达式：，
，
顶点坐标为；
令；
解得：或，
点，，
，
将代入得：，
点，即，
，
的面积为；
如图：
点关于对称轴对称的点为点，
，
，
，，共线时，最小，即线段与对称轴的交点即为点，
由，可得直线解析式为，
在中，令得，
点坐标；
在抛物线上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，理由如下：
以点为直角顶点的直角三角形，过作轴于，如图：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，，不合题意，舍去，
点；
以为直角顶点，设抛物线顶点，连接，过作轴于，如图：
由知，
，
，，，
，
，
，
点即是点，
点，
综上所述，满足条件的点坐标为或．
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