2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是的正比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这名学生成绩的( )
A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数
4.对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线，最大值是 B. 对称轴是直线，最小值是
C. 对称轴是直线，最大值是 D. 对称轴是直线，最小值是
5.已知直线不经过第一象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
7.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
8.设方程的两个根为，，那么的值等于( )
A. B. C. D.
9.已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
；；；其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知关于的方程的一个根是，则______．
12.已知，在二次函数的图象上，若，则_____填“”、“”或“”．
13.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的元降到元，设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程是______．
14.若函数，则当函数值时，自变量的值等于____．
15.如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，
则的面积为______．
16.如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
求解下列一元二次方程：
；
．
19.本小题分
学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
李亮
张明第次的成绩为______秒；
张明成绩的平均数为______；李亮成绩的中位数为______；
现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
20.本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
求两直线交点的坐标；
求的面积；
根据图象直接写出时自变量的取值范围．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程为实数
求证：无论取何值，该方程总有两个实数根；
该方程的两个实数根为、，若，求正数的值．
22.本小题分
如图，在中，，点，分别为，边上的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的周长．
23.本小题分
某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量单位：个与销售单价单位：元有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为元．
求与之间的函数解析式；
这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于元，该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24.本小题分
在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
当，时，请求出该函数的完美点；
已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点点在原点的左侧，点在原点的右侧，与轴交于点，．
求该抛物线的函数解析式．
如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，交于点，当：：时，求点的坐标．
如图，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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9.
10.
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12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：原式
．
18.解：，
，
，
，；
，
，
或，
，．
19.解：张明第次的成绩为秒；
；秒，秒；
选择张明，平均数和中位数相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
20.解：将代入得，；将代入得，
组成方程组得，解得，
故D点坐标为；
由可知，点坐标为
故；
．
21.证明：，
无论取何值，该方程总有两个实数根；
解：，即，
解得：或，
，，
，，
，
，
．
22.证明：点是边的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
又点、分别是边、的中点，
是的中位线，
．
又，
．
．
四边形是菱形．
解：四边形是菱形，
，
在中，，
是的中点，
，
四边形的周长．
23.解：，
与之间的函数解析式；
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值是．
当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
当时，，
解得，，
，不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为元．
24.解：当，时，，
令，则，
解得：，，
该函数的完美点为，；
令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，则．
又方程根为，
，，
该二次函数的解析式为；
，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
当时，函数的最小值为，最大值为，
．
25.解：，则：，，
把、坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：；
：：，
，即：，
设：点横坐标为，则点横坐标为，
点在直线上，
而所在的直线表达式为：，则，
则：直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入，解得：或，
则点的坐标为或；
当时，
当在轴上方时，
如图，设交轴于点，
，，又，，
≌，
，点，
直线过点、，则其直线方程为：，
联立并解得：，
故点的坐标为；
当在轴下方时，
如图，过点作交于点，则，
，，，
，
直线可以看成直线平移而得，其值为，
则其直线表达式为：，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
，则，
即：，
解得：，则点，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
则点；
当时，
当在上方时，如图，点为图所求，
设交于点，
，，
，
由知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去负值，
；
当在下方时，
同理可得：舍去负值，
故点，
故点的坐标为：或或或
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