2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列四边形中不是轴对称图形的是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
3.如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
4.下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.关于正比例函数下列说法正确的是( )
A. 图象不经过原点 B. 随的增大而增大
C. 图象经过第二、四象限 D. 当时，
6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，矩形的长，宽，将它折叠，使点与点重合，求折叠后的长和的长分别是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9.直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两车从城出发前往城，在整个过程中，汽车离开城的距离与时间的对应关系如图所示，下列说法：
、两城相距
甲车比乙车多用两个小时
甲车出发一个半小时后被乙车追上
甲乙两车的速度比为：
乙车追上甲车时距终点城还有
其中正确的说法是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数中，自变量的取值范围是 ．
12.计算的结果是______．
13.解一元二次方程的根是______．
14.若一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是______．
15.如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，
则四边形的周长为______．
16.如图所示，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是______．
17.如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接若，，则 ______．
18.已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是______．
19.在平行四边形中，边上的高为，，，则线段的长是______．
20.如图，正方形，点是中点，点在上，连接、，，，则线段的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简，再求值，其中．
22.本小题分
图和图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，要求所画图形各顶点必须在小正方形格点上．
在图中画出一个周长为，面积为的直角三角形，是直角；
在图中画出一个周长为，面积为的菱形．
23.本小题分
某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图每组数据包括右端点但不包括左端点，请你根据统计图解决下列问题：
此次抽样调查的样本容量是______．
补全频数分布直方图．
如果自来水公司将基本用水量定为每户吨，那么该地区万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
24.本小题分
已知在中，，点、分别为、的中点，点在的延长线上，连接、、，且．
如图，求证：四边形是平行四边形；
如图，连接、，在不添加任何辅助线和字母的前提下，请直接写出图中与面积相等的四个三角形除外．
25.本小题分
年哈尔滨马拉松比赛期间，某体育用品商店迎合市场热度，计划购进、种两种品牌的跑步鞋，若购进双品牌跑步鞋和双品牌跑步鞋，需要元，若购进双品牌跑步鞋和双品牌跑步鞋，需要元．
求该商店购进、两种品牌跑步鞋的单价分别是多少元？
若商店共购进两种跑步鞋双，且品牌跑鞋的数量不多于品牌跑步鞋的，如果这两种跑步鞋每双均加价出售，当购进品牌跑步鞋多少双时，商店获得的总利润最大，总利润最大是多少？
26.本小题分
在正方形中，点在上，连接．
如图，若点在上，与交于点，，求证：；
如图，过点作，由点作于点，，求证：；
如图，在的条件下，连接和相交于点，，，求的长．
27.本小题分
平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴、轴于点、两点，点在轴上，平分．
如图，求点的坐标；
如图，点在线段上，过点作交于点，过点作轴交于点，已知点的坐标为，设的长为，求与的函数关系式不要求写出的取值范围；
如图，在的条件下，连接并延长交轴于点，过点作交的延长线于点，连接、，若时，求点的坐标和的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.且
12.
13.，
14.
15.
16.
17.
18.
19.或
20.
21.解：
，
当时，原式．
22.解：如图，直角三角形即为所求．
如图，菱形即为所求．

23.
“吨吨”部分的户数为户，
补全图形如下：
万户，
答：该地区万用户中约有万用户的用水全部享受基本价格．
24.证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
如图中，与面积相等的三角形有：，，，．
理由：四边形是平行四边形，
与的面积相等，
，，
与，与的面积相等，
与面积相等的三角形有：，，，．
25.解：设每个品牌跑步鞋的单价元、每个品牌跑步鞋的单价元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每个品牌跑步鞋的单价为元、每个品牌跑步鞋的单价为元；
两种跑步鞋双，且品牌跑鞋的数量不多于品牌跑步鞋的，
，
解得：，
，
解得：，
，
在，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
即最大利润为元．
应购进品牌跑步鞋个，销售利润最大，为元．
26.证明：正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
；
证明：过作于，而，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
≌，
；
解：如图，过作于，延长交于，则，四边形为矩形，四边形为矩形，
，，
设，而，
，，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，舍去，
，，，
正方形，
，
设，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
，
．
27.解：如图，过作于，
，平分，
，
，
直线分别交轴、轴于点、两点，当，则；当，则；
，，
，
，
，，
；
解：，，设直线为，
，
解得，
直线为；
，点的坐标为，，
解得：，
，
在上，直线为，轴，
，
，
；
解：如图，延长交轴于，则，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，即，
，
，
设直线为，
，
解得：，
直线为，
联立得，
解得：，
，
，，
同理可得：直线为，
联立得，
解得：，
即，
，
，
解得，经检验符合题意．
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