2024-2025学年广西南宁四十七中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西南宁四十七中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，能与合并的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.用求根公式解一元二次方程时，，的值是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.若点，都在直线上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为 B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与轴无交点 D. 当时，的值随值的增大而增大
9.白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是( )
A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是
10.已知是一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
11.如图：为内一点，平分，，，若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
12.如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论：；；；抛物线上有两点和，若且，则其中正确的有( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若有意义，则能取的最整数值是______．
14.若一个二次函数的二次项系数为，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______．
15.分解因式 ______．
16.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后抛物线与轴交点的坐标是______．
17.一元二次方程的根是______．
18.如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点不与端点，重合，为的中点现有以下结论：
四边形一定是矩形；
四边形可能是菱形；
连接，四边形不可能是正方形；
当为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是______写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
20.本小题分
解方程组：．
21.本小题分
如图，在矩形中，是对角线．
用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线，交于点，交、延长线分别于点、，连接、保留作图痕迹，不写作法
求证：四边形是菱形．
22.本小题分
七年级某班体育测试中有一项为定点投篮，规定每名同学投次，投中次记分，测试时两名同学请假未到校，其余同学的成绩如图所示．
这些同学投篮成绩的众数是______分，中位数是______分；
若两名请假的同学补测后发现全班成绩的中位数与众数都发生了变化，这两名同学的成绩的平均值是______分；
若规定成绩不低于分则合格，请根据的统计结果估计七年级名学生的合格人数．
23.本小题分
阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务．
利用均值换元法解一类一元二次方程
解方程：．
第一步：原方程可变形为：；
第二步：令
第三步：第一步的方程可变形为；
第四步：；
根据的值可以求出，．
方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法我们在解决形如其中，，，是常数，且的方程时可以利用均值换元法求解．
利用均值换元法解方程体现的数学思想是______；
A.分类讨论思想数形结合思想整体代换思想类比思想
完成材料中第三步以后求值的过程；
根据材料内容，利用均值换元法解方程：．
24.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某旅游商场以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售，每日可售出件从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价元，日销售量就会增加件设售价为元，日销售量为件．
直接写出日销售量为件与每件售价元之间的函数关系式______；
为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达元？
该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
25.本小题分
在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题
列表：函数自变量的取值范围是全体实数，下表列出了变量与的几组对应数值：
根据表格中的数据直接写出与的函数解析式及对应的自变量的取值范围；
描点、连线：在右侧的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______；
已知函数的图象如图，结合函数图象，请直接写出当时，自变量的值．结果保留位小数，误差不超过
26.本小题分
如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
______直接写出结果不写解答过程
求证：四边形是正方形．
若，求的面积．
如图，在中，，高，，则的长度是______直接写出结果不写解答过程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.，
18.
19.解：
．
20.解：，
由得，
代入得，
，
把代入得，
．
21.解：即为所求；
在矩形中，，
，
是的垂直平分线，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
22.，；
全班成绩的中位数与众数都发生了变化，
如果有一个补测的同学的成绩为分，则中位数不变；
补测的两名同学的成绩都为分，则中位数与众数都不变，
如果有一个补测的同学的成绩低于分，则众数不变；
补测的两名同学的成绩都为分，则中位数为分，众数为和，中位数与众数都发生了变化，
补测的两名同学的成绩可分别为分，分．
这两名同学的成绩的平均值是分，
人，
答：估计七年级名学生的合格人数大约为人．
23.；
，
，
，
解得，
或，
解得，；
整理得：，
令，则原方程为，
，
，
或，
解得，．
24.；
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了让顾客得到更大的实惠，
舍去，
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达元．
设日销售利润为元，由题意得：
，
，
当时，元；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
25.当时，随的增大而增大
【解析】解：当时，，解得；当时，，解得．
与的函数关系式为：．
如图：
根据图象可看出函数的性质：当时，随的增大而增大，
故答案为当时，随的增大而增大．
由图象可知，当时，自变量的值为或或．
26.
【解析】解：，
，，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
证明：过点作于，
平分，，，
，
同理可得，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
设，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
；
解：如图所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由折叠可得，，，，，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
第1页，共1页