2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列不等式变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
4.若分式无意义，则的值是( )
A. B. C. D.
5.若等于它的倒数，则分式的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
7.下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形
8.如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连结，，下列说法不正确的是( )
A. 四边形是平行四边形
B. 当时，四边形是矩形
C. 当时，四边形是菱形
D. 当时，四边形是菱形
9.如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
10.如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： ______．
12.对于实数、，定义一种新运算“”为：，
这里等式右边是通常的实数运算例如：，则
方程的解是______．
13.如图，在平面直角坐标系中，函数与的
图象交于点，则不等式的解集为______．
14.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点含端点，但点不与点重合，点，分别为，的中点，则长度的最大值为 ．
15.如图，已知菱形的边长，，点、分别在边、上，若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解的整数解．
19.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的．
将向右平移个单位，作出平移后的．
在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标不写解答过程，直接写出结果
20.本小题分
如图，在中，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
求证：≌．
若，求证：四边形是矩形．
21.本小题分
随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车商行经营的型自行车去年销售总额为万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
型自行车去年每辆售价多少元？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
22.本小题分
如图，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．
观察猜想：
图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连结，判断的形状，并说明理由；
拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
参考答案
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16.解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：，
所以时原分式方程的增根，
则原分式方程无解．
17.解：，
由得，；
由得，，
把不等式和的解集在数轴上表示为：
故不等式组的无解．
18.解：
，
由，得，
是不等式组的整数解的整数解，
，，
当时，原分式无意义，
，
当时，原式．
19.解；如图所示：
如图所示：
如图所示：作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，
可得点坐标为：．
20.证明：点是的中点，
，
在和中，
，
≌；
，，
四边形是平行四边形，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
21.解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，
由题意，得，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
．
，
随的增大而减小．
时，有最大值，
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大．
22.解：，；
是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
．
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