2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.下列分式变形正确的是( )
A. B. C. D.
6.将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形中，是对角线的中点，连接若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小
时完成的工作量是型机器人的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人少小时，如果设型机器人每小时搬运千克化工原料，则可以列出以下哪个方程( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.因式分解 ．
10.如图，经过平移得到，连接、，若
，则点与点之间的距离为______．
11.分式的值为，则______．
12.如图所示，菱形的对角线、相交于点若，，，垂足为，则的长为______．
13.如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，相交于点若，，则的长为______．
14.已知，，则 ______．
15.若关于的分式方程无解，则的值为______．
16.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为______．
17.如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连接，，，若，且是等边三角形，则 ______．
18.如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点过点作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点连结，在点的运动过程中，的最小值等于______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.（12分）解不等式组：；
解分式方程：．
20.（8分）先化简，再求值：，其中．
21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在第四象限．
请画出关于轴对称的；
请画出绕原点顺时针旋转后的；
求出中线段所扫过的面积．
22.（10分）如图，四边形是边长为的正方形，分别延长，至点，，使，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
求四边形的面积．
23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上．
求出线以的长度；
求出的函数关系式；
若点是轴上的一个动点，点是线段上的点不与点、重合，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由．
24.（8分）某商店购进，两种商品共件进行销售．已知采购商品件与商品件共元，采购商品件与商品件共元．
求，商品每件进价分别是多少元？
若该商店出售，两种商品时，先都以标价元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的折售完所有剩余商品．其中以元售出的商品件数比购进种商品件数少件，该商店此次降价前后销售，两种商品共获利不少于元，求商店至少购进商品多少件？
若采购这件商品的费用不低于元，不高于元．然后将商品每件加价元销售，商品每件加价元销售，件商品全部售出的最大利润为元，请直接写出的值．
25.（10分）如图，在 中，的平分线交于点，的平分线交于点．
求证：四边形为平行四边形；
如图，连接，若，，，求 的面积；
如图，连接，作关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
26.（12分）如图，直线：与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且．
求直线的解析式；
如图，点是轴上一动点，点在的右侧，，．
当最小时，求点的坐标；
如图，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.
18.
19.解：，
解不等式得，
解不等式得，
原不等式组的解集是；
，
，
两边同乘以得，
整理得，
解方程得，
经检验，当时，，
是分式方程的解．
20.解：
，
当时，
原式
．
21.解：如图，即为所求；
即为所求；
由旋转的性质知：中线段所扫过的面积为，
线段所扫过的面积为．
22.证明：如图，连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：四边形是边长为的正方形，，
，
，
，
四边形的面积为．
23.解：当时，，
，
当时，，
，
；
过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由可知，
设，，，
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
此时点不存在；
为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标或．
24.解：设商品每件的进价为元，商品每件的进价为元，
依题意得：
，
解得：
．
答：商品每件的进价为元，商品每件的进价为元；
设至少购进商品件，可得：
，
解得：．
答：至少购进商品件；
设销售利润为元，购进商品件，则商品件，
根据题意得，
解得，
，
为正数，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为，
．
答：的值为．
25.证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
的面积为；
如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由知，
四边形是平行四边形，
由知，
四边形是菱形，
，，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故BE的长为．
26.解：四边形为正方形，
设，
，
解得：负值已舍去．
即，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
过点作轴，如图，
由题意可得：，
，
，
≌，
，，
，
，
设，则，，
由题意可得：，
即，
点在定直线上，如下图：
作点关于直线的对称点，交直线于点，则此时最小，
根据图象的对称性，点关于轴的对称点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立和上式并解得：，
则点；
连接，由题意可得为等腰直角三角形，，
四边形为正方形，
，
，此时点与点重合，
由可得，
，
由点、的坐标得：直线为，
当时，，
点，
作点关于直线的对称点，
，
此时，
点为直线与的交点，
直线为，
联立和并解得：，
即．
综上，点坐标为或．
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