2024-2025学年山西省太原市山西省实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数的实部为，的虚部为，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.小刚参与一种答题游戏，需要解答，，三道题已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为( )
A. B. C. D.
6.折纸发源于中国世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则下列结论成立的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若函数有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称
10.定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递增
C.
D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为
11.如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿间上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 当平面平面时，二面角大小的正切值为
D. 当平面平面时，三棱锥外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为______．
13.已知用分层随机抽样从某校高二年级名学生的数学成绩中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差是______．
14.函数，若有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
；
．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，．
求角；
若的面积为为的中点，求的最小值．
17.本小题分
某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级名学生进行调查，将收集到的做义工时间单位：小时数据分成组：，，，，，，时间均在内，已知上述时间数据的第百分位数为．
求，的值，并估计这位学生做义工时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人，求两个人来自于不同组的概率．
18.本小题分
已知平面向量，，．
设函数，求的对称轴方程；
设函数，求的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，．
证明：直线平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
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15.解：原式．
．
16.解：由，根据正弦定理得，
因为，
所以，整理得，
因为，，所以，，结合，可得；
因为的面积，解得，
由为的中点，得，
所以，
当且仅当时，等号成立，可知当时，的最小值为．
17.解：由于，则，
且，则，
于是，
那么平均值为，
由于第二组和第四组的频率之比为：，
则分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有个人，第四组共有个人，
设两个人来自于不同组为事件，
基本事件总数为，，
事件包含的基本事件数为，
．
18.解：由题意知，，
由，，得，，
即的对称轴为，；
由题意知，，
设，则，
由，得，
所以，
又函数是一条开口向下、对称轴为的抛物线，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以．
19.解：证明：如图，连接交与点，
则为中点，又为线段的中点，
，
又平面，平面，
平面；
设到平面的距离为，
又平面，
到平面的距离等于到平面的距离，
由题意易知到平面的距离为，
，又，
设与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
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