2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的部分图象如如图所示，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.在四面体中，点，满足，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为 D. 中位数为，方差为
7.在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为( )
A. B. C. D.
8.如图，边长为的正方形中，，分别为边，上的点，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的虚部与的实部均为，则下列说法正确的是( )
A. 是虚数
B. 若，则
C. 若，则与对应的点关于轴对称
D. 若是纯虚数，则
10.一口袋中有大小和质地相同的个红球和个白球，则下列结论正确的是( )
A. 从中任取球，恰有一个红球的概率是
B. 从中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C. 从中不放回的取球次，每次任取球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
11.已知平行六面体的棱长均为，，，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则面
C. 若，则面
D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数若函数仅有一个零点，则实数的值是______．
13.中国居民膳食指南数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是______．
14.已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间单位：天记录如下：
组：，，，，，组：，，，，
假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
如果，事件：“甲康复时间为天”，事件：“甲乙康复时间之和为天”，事件，是否相互独立？
16.本小题分
如图所示，已知底面，，，，为的中点．
若，求三棱锥的体积．
求证：；
17.本小题分
已知函数．
当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
点在边上，且，，求面积的最小值．
19.本小题分
已知正实数集，定义：称为的平方集记为集合中的元素个数．
若，求集合和；
若，求；
求证：，并指出取等条件．
参考答案
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15.解：当时，从，两组随机各选人，
样本空间，，，，，，共有种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，，，，，，，，共种，
所以概率为．
当时，，
事件的情况有，，，，共种，则
事件：“甲康复时间为天且甲乙康复时间之和为天”的情况为，则，
因此，
所以事件，不相互独立．
16.解：当时，根据题意可得，，
，
，平面，
三棱锥的体积：
．
证明：连接，交于，
面，，
，，和为直角三角形，
又，，
，
，即，
又底面，，
，，面，
面，，
又，，
，面，又面，
C.
17.解：，当时，
函数存在零点，
即在时有解，
设，
即，，，
即实数的取值范围为．
若函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一解，
只有一解，令，
得关于的方程有一正数解，
当时，方程的解为，不合题意；
当时，则恒成立，
，此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；
当时，满足的情况下，因为，，同号，所以得满足，
只需，且，
解得；
综上，实数的取值范围为．
18.解：由，根据正弦定理与余弦定理，可得，
整理得，所以，结合，可得；
设，则，
因为，，，结合，可得，
在中，由正弦定理得，解得，所以，
过点作的垂线，垂足为，设的面积为，
因为，所以，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
综上所述，当时，面积的最小值为．
19.解：，
；
，要使得最小，就得使和全都互质，
当中所有元素互质的时候，，
即，
解得：就是所求的最小值；
证明：当时，取等号，
当时，取等号，
当时不妨令，
有，
其中，中元素的个数为个，
即，
当且仅当，
此时中只有个元素．或指出为等比数列．
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