2024-2025学年浙江省名校协作体高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省名校协作体高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，，则公比的值为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知函数满足，最小正周期为，函数，则将的图象向左平移个单位长度后可以得到的图象．
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，高为，则其内接圆柱的表面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线，分别交椭圆于，两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
8.正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线记二面角的平面角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱
D. 已知随机变量，则
10.设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知正项数列满足，记，则( )
A. 是递减数列 B.
C. 存在使得 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为______．
13.已知正实数满足，则的取值范围是______．
14.将张完全相同的卡牌分成组，每组张第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，；第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，；第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，将这张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，；
求角的值；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知三棱锥满足，，，且．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值，
17.本小题分
已知函数，．
判断函数的零点个数，并说明理由；
求曲线与的所有公切线方程．
18.本小题分
如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的，两点，点在轴下方，且在线段上．
试判断：直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
过点作的垂线交直线于点，若的面积为，求点的坐标，
19.本小题分
对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
写出集合的一个“有趣的”四元子集：
证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
参考答案
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15.解：由题意得：，
即，
因为，与正弦定理可得：，
又，因此，
因为，因此，故C为锐角，
因此；
由，，
则由余弦定理：，
可得，
所以，，即为等腰直角三角形，
又，，．
所以的周长为．
16.解：证明：，，
，，
，，
即：，
取中点，连接，，则，，且，，平面，
平面，
平面 ，
．
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
由可知，
中，，，
，
设的法向量，
则，即，
取，
记与平面所成角为，
则．
17.解：函数的定义域为：，
，在单调递增，
又，存在唯一零点，在之间．
，
以上的点为切点的切线方程为．
以上的点为切点的切线方程为：
．
令，
则，得，即．
设，函数，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，，
的解为，又，，．
和存在唯一一条公切线为．
18.解：若的斜率不存在，
则点不存在或与原点重合；
若的斜率不存在，
则点与原点重合，
因此，直线与的斜率均存在，
设直线：，
代入抛物线方程得：，
设，
则，，
又，
则，
所以直线，的斜率之积为定值．
由题意可知，的斜率为，方程为，
设点，
所以直线：，
解方程组，
得，
因此直线与的交点坐标为，
因为，
由得，
所以直线，
解方程组，
得，
得，
所以为的中点，
从而，
则，
所以，
因为，
解得或，
因此，所求的点的坐标为与．
19.解：符合要求即可；
证明：假设可以划分，
，和一定是一个奇数一个偶数，
，，，中至多两个偶数．
则对于的一种符合要求的划分和，
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为和，
则或，不存在，使得符合要求；
若两个集合分别为和，
则或，不存在，使得符合要求；
若两个集合分别为和，
则或，不存在，使得符合要求；
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，．
每个子集中至多两个偶数，又，，，中恰有个偶数，
每个子集中均有两个偶数，
对于，可设，其中，是偶数，，为奇数，
再由奇偶性，只能是．
，
且，．
，矛盾．
不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
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