2024-2025学年山东省东营市利津高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省东营市利津高级中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.记为等差数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
6.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于的概率为
C. 越小，该物理量在一次测量中小于为与大于的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
7.现有名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这人中安排人参加公益活动，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A. B. C. D.
8.当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
9.有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差大于，，，的极差
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内不含边界的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，若各项系数和为，则项的系数为______．
13.某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有道题，题库有道题，题库有道题小申已完成所有题，他题库的正确率是，题库的正确率是，题库的正确率是现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
14.已知点，，，均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知某险种的保费为万元，前次出险每次赔付万元，第次赔付万元．
赔偿次数
单数
在总体中抽样单，以频率估计概率：
求随机抽取一单，赔偿不少于次的概率；
毛利润是保费与赔偿金额之差设毛利润为，估计的数学期望；
若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
17.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求面与面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
参考答案
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15.解：设等比数列的公比为，前项和为，且，
可得，即，
当时，由，可得，两式相减可得，
即，可得，，
则；
，
则数列的前项和为
16.解：设为“随机抽取一单，赔偿不少于次”，
由题设中的统计数据可得；
设为赔付金额，则可取，，，，，
由题可得，，
，，，
所以，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E万元；
由知未赔偿的概率为，至少赔偿一次的概率为，
故保费的变化为，
设为保单下一保险期的毛利润，
故E万元．
17.证明：如图，设为的中点，连接，，
因为是中点，所以，且，
因为，，，，
所以四边形为平行四边形，，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：因为平面，
所以平面，，，相互垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面夹角为，
则．
18.解：函数，
当时，，，
，切点坐标为，
切线的斜率为，
曲线在点处的切线方程为：
，整理得：．
函数，，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值，
，
令，得，
当时，，当时，，
函数的增区间为，减区间为，
，
，
令，，
在上单调递减，
，等价于，
的取值范围是．
19.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
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