2024-2025学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在某次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取( )
A. 份 B. 份 C. 份 D. 份
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中，最小值为的是( )
A. B.
C. D.
5.下列求导计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭已知甲、乙中靶的概率分别为，，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某中学的高中女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到关于的回归直线方程为，则下列结论中正确的是( )
A. 该回归直线必过点
B. 与是负相关的
C. 若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该中学某高中女生身高为，则其体重必为
10.设，为正数，且，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中( )
A. 与的夹角为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 与平面所成角的正切值
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.若离散型随机变量，则为______．
14.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求的取值集合．
16.本小题分
设函数．
若直线是曲线的切线，求实数的值；
讨论的单调性．
17.本小题分
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮次，选手在连续投篮时，第一次投进得分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多分；若某次未投进，则该次得分，且下一次投进得分．已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立．
求甲最后得分的概率；
记甲最后得分为，求的概率分布和数学期望；
记事件为“甲、乙总分之和为”，求．
18.本小题分
根据要求完成下列问题：
解关于的不等式；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，等腰梯形中，，为的三等分点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且与平面所成角的正切值为．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
参考答案
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15.解：当时，，
故A；
，
则，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的取值集合为或
16.解：设切线为，则．
所以切线方程为：，
因为直线是曲线的切线，
所以，即，
化简切线方程得：，所以，解得，所以．
．
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，所以在上单调递增；
令，解得，所以在上单调递减，
综上可知：当时，，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
17.解：记事件 为“甲得分”，
则
的取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
记 为乙最后得分，
则事件 为“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
，
，
，
，
故 ．

18.解：因为，
当时，即时，原不等式可化为，解得，
所以原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式可化为，
当时，即时，，
因为，所以原不等式的解集为；
当时，即时，，
因为，所以原不等式的解集为；
因为，
即，
因为恒成立，
所以，
故，
令，因为，所以，
所以对于一切恒成立，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为．
19.解：证明：依题意得，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
假设，由过作，垂足为，则平面，
过作，交于，
以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得为平面的一个法向量，
又，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为．
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