2024-2025学年江苏省苏州市陆慕高级中学高三（上）段考数学试卷（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江苏省苏州市陆慕高级中学高三（上）段考数学试卷（一）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 256.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-17 13:27:17 | ||
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文档简介
2024-2025学年江苏省苏州市陆慕高级中学高三（上）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：有些实数的相反数是正数，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知某地区中学生的身高近似服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“或”的 条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知实数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，若一过其焦点的斜率的直线与双曲线交于、两点、在同一支上，且满足，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.设、、，满足，，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的值域为
B. 的对称中心为，
C. 在上的递减区间为
D. 在上的极值点个数为
10.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面 所成角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
11.已知函数，则下列说法正确的有 ( )
A. 若，则的值域为
B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C. 存在，使得有三个零点
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数是______．
13.在数列中，已知，，则数列的前项和 ．
14.已知集合，，均是集合的非空真子集，则以集合，，为元素所构成的集合的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且
求；
若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值．
若在只有一个零点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，．
若为的中点，证明：平面平面
若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值．
18.本小题分
无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
附：，其中．
某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立，无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ直线：与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则 ；
由有，
又可得，
联立 ，解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得 ，
故的长为．
16.解：
函数的定义域为，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值．
函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，．
17.解：证明：取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则，
又，则，且，、平面，
根据线面垂直的判定定理，
得平面，平面，即．
由，则，又，为梯形的两腰，则与相交，
即平面，
又面，所以平面平面
取的中点为，由，，
则，，
因此为等边三角形，，
由知面，，，两两垂直，
如图，以，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
由，，则，
，，，，
由，
所以，，，
，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得，
设平面的一个法向量为
由
可得平面的一个法向量为，
记平面与平面夹角的大小为，
所以，化简得，即，所以实数的值为．
18.解：设零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关．
由题可得列联表如下：
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关；
起火点被无人机击中次数的所有可能取值为．
，
．
故的分布列如下：
；
击中一次被扑灭的概率为，
击中两次被火扑灭的概率为，
击中三次被火扑灭的概率为，
故起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.解：Ⅰ，
，所以，
因为，所以，，，
所以椭圆方程为．
Ⅱ设，，
，
联立，消去整理得，
，即，
所以，，
，
因为是一个与无关的常数，所以，，，
，，
点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即，
因为，所以时，取得最大值为，
因为，所以最大时，最大，
所以或．
第10页，共10页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：有些实数的相反数是正数，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知某地区中学生的身高近似服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“或”的 条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知实数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，若一过其焦点的斜率的直线与双曲线交于、两点、在同一支上，且满足，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.设、、，满足，，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的值域为
B. 的对称中心为，
C. 在上的递减区间为
D. 在上的极值点个数为
10.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面 所成角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
11.已知函数，则下列说法正确的有 ( )
A. 若，则的值域为
B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C. 存在，使得有三个零点
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数是______．
13.在数列中，已知，，则数列的前项和 ．
14.已知集合，，均是集合的非空真子集，则以集合，，为元素所构成的集合的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且
求；
若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值．
若在只有一个零点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，．
若为的中点，证明：平面平面
若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值．
18.本小题分
无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
附：，其中．
某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立，无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ直线：与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则 ；
由有，
又可得，
联立 ，解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得 ，
故的长为．
16.解：
函数的定义域为，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值．
函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，．
17.解：证明：取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则，
又，则，且，、平面，
根据线面垂直的判定定理，
得平面，平面，即．
由，则，又，为梯形的两腰，则与相交，
即平面，
又面，所以平面平面
取的中点为，由，，
则，，
因此为等边三角形，，
由知面，，，两两垂直，
如图，以，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
由，，则，
，，，，
由，
所以，，，
，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得，
设平面的一个法向量为
由
可得平面的一个法向量为，
记平面与平面夹角的大小为，
所以，化简得，即，所以实数的值为．
18.解：设零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关．
由题可得列联表如下：
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关；
起火点被无人机击中次数的所有可能取值为．
，
．
故的分布列如下：
；
击中一次被扑灭的概率为，
击中两次被火扑灭的概率为，
击中三次被火扑灭的概率为，
故起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.解：Ⅰ，
，所以，
因为，所以，，，
所以椭圆方程为．
Ⅱ设，，
，
联立，消去整理得，
，即，
所以，，
，
因为是一个与无关的常数，所以，，，
，，
点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即，
因为，所以时，取得最大值为，
因为，所以最大时，最大，
所以或．
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