2024-2025学年江苏省泰州市泰州中学高三（上）期初调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州中学高三（上）期初调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.下列四个命题中，正确的是( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
5.在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则图象如下图的函数可能是( )
A. B.
C. D.
7.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数的最小正周期为，则( )
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 在上单调递减
D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11.设，正项数列满足，，下列说法正确的有( )
A. 为中的最小项
B. 为中的最大项
C. 存在，使得，，成等差数列
D. 存在，，使得，，成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，各项的系数和为______．
13.在中，，，分别为内角，，的对边，若，且，则 ______．
14.已知，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现在甲乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数求：
求袋中原有白球的个数；
求随机变量的概率分布．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
证明：平面平面；
若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知各项均为正数的数列的前项和为，，．
求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
求证：：
设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为．
若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为：，求椭圆的方程；
已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上；
已知直线：，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，设其面积为，使得、在直线上，、在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：设袋中原有个白球，
袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，
则，解得舍去，即袋中原有个白球．
由题意，的可能取值为，，，，．
；
；
故取球次数的分布列为：

16.解：证明：设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
连接，由知，平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，
即，，，所以，
设，，，，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
取，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：Ⅰ函数其定义域为，
则，
故在上单调递减，
的单调递减区间为，无单调递增区间；
Ⅱ由题意，即，可得，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，
令，则，则对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
对任意的恒成立，即时，，
令，则，
则在上单调递增，
故是在上的最小值，即，
所以，
即实数的取值范围为．
18.解：证明：当时，，
即，
而，有，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，即，
当时，，又满足上式，
所以的通项公式为．
证明：由知，，
则，
当时，，
即对任意的，都有；
由知，，
则有，
因，即，
则数列单调递增，，
因对任意正整数均有成立，
于是得，解得，
而，则，
所以存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立，且的最大值为．
19.解：椭圆的一个焦点为，，
，则椭圆：，
设：，相似比为，；，
椭圆：；
证明：点在椭圆上，则，设点，
，，
，
点在双曲线上
椭圆：，相似比为，则椭圆的方程为：，
由题意：只需上存在两点、关于直线对称即可
设：，设中点为，，，
，，
，，
由韦达定理知：，，
在直线上，
则
解得：，，则，
此时正方形的边长为，
正方形的面积为，
丨丨，
函数的解析式：，定义域为．
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