2024-2025学年江苏省扬州中学高三（上）暑期检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州中学高三（上）暑期检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数若，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
3.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
6.命题“，”为假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且满足，，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的必要不充分条件
D. “且”是“”的必要不充分条件
10.下列命题中正确的是( )
A. 的最小值是
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最大值是
D. 若正数，满足，则的最小值为
11.已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则实数 ______．
13.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
14.记表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合．
若，求实数的取值范围；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业开学时进行了入学测试，随机抽取了名学生统计得到如下列联表：
使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计
入学测试成绩优秀
入学测试成绩不优秀
合计
判断是否有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
若把这名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取人，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
定义域为的函数是奇函数．
求实数，的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在四棱锥中，平面，底面为正方形，，为线段的中点，为线段上的动点，．
证明：；
求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若是的极小值点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
当时，，解得
当时，由得：，解得；
综上，的范围为；
由题得，是的真子集，
所以，且等号不同时成立，
解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：
，
没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
由题意可知，运用分层抽样抽取人，
则成绩优秀的人数为，
成绩不优秀的人数为，
由题意可知，所有可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
．
17.解：方法一：是奇函数，，解得，
又由知：，解得．
此时，，且的定义域关于原点对称，
所以是奇函数．
故，．
方法二：是奇函数，
，
，
即恒成立．
，
，或，，
当时，的定义域为，舍，
当，时，，
且的定义域关于原点对称，是奇函数．
故，．
由知，
则在上为减函数，
又是奇函数，由得：
，
，即在上有解，
当且仅当，即时等号成立，
在上的最大值为，
，即，
解得，，
范围为．
18.证明：因为平面，且，平面，
所以，，
因为底面为正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，且为线段的中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，，
所以，，，，
设，则，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，即，
设平面的法向量为，则，
取，则，，即，
设平面与平面所成角为，
则，，
令，则，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，，
故当实数时，平面与平面所成角的余弦值取得最大值．
19.解：
当时，，
设，则，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，取得极大值，所以，
所以的单调递减区间为，无增区间；
，
设，则，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，
当时，单调递增，
因为，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点．
当时，，又，
所以存在，使得，所以当时，单调递增，
又，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点；
当时，，当时，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极小值点；
当时，开口向下，对称轴为，
此时，故，使，
当时，，因此在上单调递增，
又，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以为的极小值点；
当时，，使，
当时，，因此在上单调递减，
又，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以为的极大值点；
当时，由知非极小值点．
综上所述，．

第9页，共9页