2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高三（上）调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高三（上）调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过天的“进步值”，看作是经过天的“退步值”，则大约经过 天时，“进步值”大约是“退步值”的倍参考数据：，
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数是上的偶函数，且，当时，，函数在区间的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.下列式子结果为的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
11.已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧点”下列选项中有“巧点”的函数是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ．
13.已知函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为______．
14.已知函数其中，，的部分图象如下图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知都是锐角，且，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
第三次人工智能浪潮滚滚而来，以发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于中某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：
现有完全相同的甲，乙两个箱子如图，其中甲箱装有个黑球和个白球，乙箱装有个黑球和个白球，这些球除颜色外完全相同某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．
求摸出的球是黑球的概率；
若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大．
17.本小题分
已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点．
证明：；
当二面角余弦值大小为时，求的长．
18.本小题分
已知函数，，
讨论的单调性
若有两个零点，求的取值范围
若对任意恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
设为大于的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列．
若数列为，写出所有的数列；
如果数列公差为，证明：；
记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：．
参考答案
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13.．
14.
15.解：因为，所以，
又因为，所以．
利用同角三角函数的基本关系可得，且，
解得．
由可得，．
因为为锐角，，所以．
所以
．

16.解：记事件表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件表示“取得黑球”，
则，
由全概率公式得摸出的球是黑球的概率为：
．
该球取自乙箱的可能性更大．
已知摸出的球是黑球，由条件概率得该球是取自甲箱的概率为：
，
已知摸出的球是黑球，由条件概率得该球取自乙箱的概率为：
，
因为，
所以该球取自乙箱的可能性更大．
17.解因为 平面 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 ，又 为 的中点，所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
建系如图，设 ，
取平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
因为 ，由 ，则 ，取
由 ，得 ，
解得 ，或 ，故 或

18.解：的定义域为，
，
当时，时时
当时，时
当时，时时
当时，时时
综上，时，的递减区间是，递增区间是
时，的递增区间是，无递减区间
时，的递增区间是和，递减区间是
时，的递增区间是和，递减区间是；
令得，
设，则，
当时，，递减当时，，递增，
，
因为时，，时，，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，故的取值范围是，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，
所以，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
19.解：，，，；，，，
对于 项的数列 一个 数列 ，
因为对于 ，均有 ，所以， ，所以， 不是 所有项中的最大值或最小值，
所以， 为 的最大值或最小值的一个排列．
考虑 中去掉 后的数列 ，
同理若数列 为数列 的一个 一数列，则有 为 的最大值或最小值的一个排列．
以此类推，
当 时，
若 为最大值，则 为最小值，则 ，
所以， ；
若 为最大值，则 为最小值，则 ，
所以， ．
综上， ．
由知，数列 任意 元子集必存在个 数列，因此任意取 项的排列数为 ，而 为数列 的 数列的个数为 ，所以 ．

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