2024-2025学年江苏省常州一中高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州一中高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若对于任意实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若的图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”点对与视为同一个“友情点对”若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于轴对称，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数图像的一条对称轴是，则( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 函数图像的一个对称中心为
D. 若函数在上单调递减，则
11.已知函数且，则( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，有且仅有个零点
C. 当时，没有零点
D. 存在，使得存在个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是______．
13.已知函数，若在区间上有且仅有个极值点，则的取值范围是______．
14.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
求函数的单调递增区间；
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
16.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的菱形，且，，，与平面所成的角为，与交于．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
第届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球次，射进点球一次得分，否则得分已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为．
设甲次点球的总得分为，求的概率分布列和数学期望；
求乙总得分为分的概率．
18.本小题分
已知函数，．
若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；
若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为
，
又由题，所以，
所以，
令，则，
所以函数的单调递增区间为．
由，
故由题意可得，
当，，
故由正弦函数图像性质可得，
所以即，
所以函数在区间上的值域为．
16.解：证明：连结，，
底面是边长为的菱形，，
，，
，，
点为线段中点，，
为菱形，，平面，
又平面，平面平面，
在平面上的射影为，
为直线与平面所成的角，即，
在中，，，，
，，
则，，
又，平面，平面，
平面．
由知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，取，则，
则，取，则，
设二面角大小为，
则，
，
二面角的正弦值为．
17.解：设甲次点球射进的次数为，则，
的可能取值为，，，，且，
则的所有可能的取值为，，，，
；
；
；
，
所以的概率分布列为：
，
或
设“乙第次射进点球”为事件，
乙总得分为分的事件为次点球中有次射中次未射中，
则乙总得分为分的事件为，
因为，，互斥，
所以乙总得分为分的概率为，
故乙总得分为分的概率为．
18.解：当时，，．
设直线与曲线相切于点 ，
则 ，即，
解得 ，即切点为，
因为切点在上，所以，解得
不等式可化为．
记，则对任意恒成立．
考察函数，，．
当时，，在上单调递减，又，
所以，不合题意；
当时，，；，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在上单调递增，
所以时，，符合题意；
若，即时，在上单调递减，
所以当时，，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
方法一：，，，
因为有两个极值点，，
所以，即的两实数根为，，，
所以，，，所以，，
从而
记，．
则，
所以在上单调递增，又，
不等式 可化为，所以．
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为
方法二：，，．
因为有两个极值点，，
所以，即的两实数根为，，，
所以，，，所以，．
设，则，，所以，，，
从而 等价于 ，．
记，．
则，
所以在上单调递增．
又，，所以．
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为
19.解：函数不是“旋转函数”，理由如下：
因为将函数图象逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此，函数不是“旋转函数”．
由题意可得函数与函数最多有个交点，
其中，即最多有一个根，
即函数与函数图象最多有个交点，
即函数在上单调，
因为，又，，
所以，，所以，
即，，即的最大值为．
由题意可得函数与函数图象最多有个交点，
因为，
所以函数与函数其中为任意实常数图象最多有个交点，
即函数在上单调，
因为，当时，，
所以由恒成立，
令，则，
因为在上单调减，且，，
所以存在，使，即，
所以在内递增，在递减，
因此，，
故，即的取值范围是．
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