2024-2025学年江苏省宿迁市宿迁中学高三（上）质检数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁中学高三（上）质检数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则“且”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，若两直线，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数是定义域在上的奇函数．若时，则等于( )
A. B. C. D.
6.给出下列命题：
如果不同直线都平行于平面，则一定不相交；
如果不同直线都垂直于平面，则一定平行；
如果平面互相平行，若直线，直线，则；
如果平面互相垂直，且直线也互相垂直，若，则；
其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知函数，的定义域均为，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 以上都不对
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数满足，当时，下列结论正确的是( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 在上单调递增
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，点满足，则( )
A. 当时，平面
B. 任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为的球面上．如果该四棱柱的底面边长为，则其侧棱长为______．
14.已知函数知满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，其中．
当时，求集合，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知是偶函数，当时，．
求的解析式；
若不等式在时都成立，求的取值范围．
17.本小题分
设函数．
当时，解关于的不等式．
当时，求函数在上的最大值．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数在区间上的值域；
若函数在区间有最小值，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，分别为中点，是上的动点，，．
求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求到平面的距离．
参考答案
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15.解：当时，或，，
或，，
．
因为，所以，
由知，
因为，
当时，，此时满足；
当时，，
由，得，
解得，．
综上可知，
16.解：当时，有，
为偶函数，，
．
由题意得在时都成立，即在时都成立，
即在时都成立．
而在时，，．
17.解：时，，解得：或，故
当时，，不等式无解
综上，不等式的解集是
时，，
当时，，
当时，，
函数在递增，，
由得：，又，故，
所以．
18.解：根据题意，当时，，其对称轴为，在区间上为增函数，
则其最小值为，最大值，
则在上的值域为；
根据题意，，其对称轴为，
分三种情况讨论：
，当，即时，在区间上是增函数，则有，
若函数在区间有最小值，则有，
解可得：，
又由，则；
，当，即时，对称轴在区间上，则有，
若函数在区间有最小值，则有，
解可得：，
又由时，则此时无解；
，当，即时，在区间上是减函数，则有，
若函数在区间有最小值，则有，
解可得：，
又由，则；
综合可得：或．
19.证明：，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
又平面，
所以，
又是正方形，
，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
解：取为的中点，连，由得，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
，
易知是平面的法向量，
令，则，
设为平面的法向量，
则，即
取得，，
二面角的余弦值为
负值舍去，
，
设为平面的法向量，
则，即，取得，
点到平面的距离为．
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