2024-2025学年广东省熵增杯高三（上）适应性数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年广东省熵增杯高三（上）适应性数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布列如下表所示：
若，且，则( )
A. B. C. D.
4.若单位向量与向量垂直，则( )
A. B. C. D.
5.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和此过程中与的值保持不变，经计算，若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，和是方程的两实数根，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法一定正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 在的展开式中，所有有理项的系数之和为
D. 若，，，则
10.已知函数的图象交坐标轴于，，三点，部分图象如图所示，是直角三角形，函数的图象是由的图象作如下变换得来：纵坐标不变，横坐标变为原来的则( )
A. B. 的最小正周期为
C. 为偶函数 D. 在区间上单调递增
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上在第一象限，点在上，以为直径的圆经过，，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 的面积的最小值为
D. 的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的一条渐近线方程为，则 ______．
13.画条直线，最多将圆的内部分为 部分．
14.若存在，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，．
求；
设，求边上的高．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，．

证明：；
若，，求二面角的正切值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离之比为记的轨迹为．
求的离心率；
过的上顶点的直线与相交于另一点，若的面积为，求的方程．
18.本小题分
已知数列的前三项均为，且．
求的通项公式；
设数列的各项均为正整数，且．
若，，证明：为等差数列；
若，为递增等差数列，求的最小值．
19.本小题分
信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量和的分布列分别为：，，其中定义的信息熵：，和的“距离”：．
若，求；
已知发报台只发出信号和，接收台只收到信号和现发报台发出信号的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号接收台收到信号的概率为，发出信号接收台收到信号的概率也为．
(ⅰ)若接收台收到信号为，求发报台发出信号为的概率；
(ⅱ)记和分别为发出信号和收到信号，证明：．
参考答案
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15.解：由，得，
即，所以，
由正弦定理可得，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以
；
设边上的高为，
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以．

16.解：
证明：取的中点，连接，
由，得，由，得，
而平面，则平面，
又平面，所以．
在菱形中，，由知，则，，
有，，，
取的中点，连接，由，
得，
于是二面角的大小，
而，
则，
即，
解得，，，
所以钝二面角的正切值是．

17.解：
设，由题意可得，化简可得，即，
所以轨迹：的离心率．
由知，，设直线的方程为，
由消去得，且，
设，则，解得，
所以，即，
设直线与轴的交点为，则，

则
，
所以，即，解得或，
所以直线的方程为或，即或．

18.解：数列的前三项均为，且，
，解得，
同理依次可得，，，，，，
归纳可得数列的通项公式为，，
下面证明该通项满足题意．
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，都成立，满足题意，
的通项公式为，．
证明：由可知，，
由，，可得：
，，
数列的各项都为正整数，且，
，则，，，，
由，，，，满足，
都有
，
由，得为等差数列；
，，
且数列的各项均为正整数，且，数列递增，
当时，，
为递增等差数列，，
，，
，，，使，
且，，，
当时，，
为递增等差数列，数列为递增数列，且公差相等，
，，
，
数列的公差，
递增等差数列的公差，
递增等差数列的公差，
，
当且仅当，时，取到最小值，
此时，，
当时，也满足，
是等差数列，满足题意，
的最小值为．
19.解：
因为，所以，
所以的分布列为：
所以．
记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，
则，
所以，
所以；
由(ⅰ)知，则，
则，
设，则，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减；
所以，即当且仅当时取等号，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．

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