2024-2025学年广东省梅州市兴宁一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省梅州市兴宁一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.化简的值为( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是．
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的奇函数，又的图象关于对称，当时，则下列判断正确的是( )
A. 的值域为 B. 的周期为
C. D. 是偶函数
8.函数所有零点的和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“”，所以也称为“对勾函数”研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 渐近线方程为和
B. 的对称轴方程为和
C. ，是函数图象上两动点，为的中点，则直线，的斜率之积为定值
D. 是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于，两点，则的面积为定值
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若函数的最小值为，则
B. 若，则使得成立
C. 若，都有成立，则
D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.则的值为 ．
13.定义在上的函数对任意实数，恒有，当时已知，则 ______．
14.若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
若的面积为，求．
16.本小题分
已知函数，，．
当时，解不等式；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：
若，，求的周长．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，点分别在棱，上，．

证明：；
点在棱上，当二面角为时，求．
19.本小题分
对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得出一个奇数，记这个奇数为若，则称正整数为“理想数”．
求以内的质数“理想数”；
已知求的值；
将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前项和为，证明：．
参考答案
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15.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
16.解：当时，由得：，
或，解得：或，
综上所述：不等式的解集为．
令，
，
恒过定点，
当时，恒成立，不合题意；
当时，在上单调递增，
若存在，使得，只需，
即，解得：；
当时，在上单调递减，
若存在，使得，只需，
即，解得：；
综上所述：实数的取值范围为．
17.解：证明：因为，
所以，
由正弦定理和余弦定理得，
，
即，
整理得；
因为，
由得，
由余弦定理可得，，
则，所以，
故，
所以，则．
所以的周长为．
18.解：以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，

则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
．
设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
．

19.解：易知，，，，，后续直到都不满足条件，
和为两个质数“理想数”；
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为或．
证明：显然偶数“理想数“必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：，，，，，
若奇数，不妨设，
若为“理想数“，则，且，即，且，
当，且时，；
当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数“，且，
显然为奇数“理想数“，所有的奇数“理想数“为，
所有的奇数“理想数“的倒数为，
，
，
即．
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