2024-2025学年广东省普通高中高三（上）调研数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省普通高中高三（上）调研数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知和的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列为递增数列，记，分别为数列，的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知体积为的球与正四棱锥的底面和个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是( )
A. B. C. D.
7.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有十个点的坐标为，，，，它们分别与，，，关于点对称已知，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足( )
A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为
10.设是非零复数，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为．
11.已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 若，则
D. 若是在内的两个零点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的首项，公差，则第项的值为 ．
13.若，则 ______．
14.如图，在矩形中，，，，，，，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角所对的边分别为，已知．
求
若分别为边上的中点，为的重心，求的余弦值．
16.本小题分
设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积是设点的轨迹方程为．
求
不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点．
17.本小题分
如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，，，．
记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
设点在线段上，且存在一个正整数，使得，，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
证明；
设是的根，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线．
19.本小题分
如果函数的导数为，可记为，若，则表示曲线，直线，以及轴围成的“曲边梯形”的面积如：，其中为常数；，则表，，及轴围成图形面积为．
若，，求的表达式；
求曲线与直线所围成图形的面积；
若，，其中，对，，若，都满足，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
设，，
依题意可得，
所以，
，
所以，
所以．

16.解：设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率，
同理，直线的斜率，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程；
证明：设
当直线斜率不存在时，可知，
且有
解得，此时直线为，
当直线斜率存在时，设直线，则此时有：
联立直线方程与椭圆方程，得
消去可得：，
根据根与系数的关系可得：，，
所以，
所以，
所以
所以，则或，
当时，直线 ，恒过点，与题意不符，舍去，
故，直线，恒过原点，
结合，可知，直线恒过原点，原命题得证．

17.解：在底面中，因为 是底面直径，
所以，
又，故≌，
所以．
因为是圆柱的母线，
所以面，
所以 ，
，
因此；
以为坐标原点，以为，轴正方向，在底面内过点作平面的垂直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以≌，
故，
所以，，
因此，，
因为，所以，
则
设平面和平面的法向量分别为，
则，．
即，，
取，
设平面与平面的夹角为，
则
所以，
整理得，无解，舍，
由于为正整数，
解得．
18.解：因为的图象与的图象关于直线对称，
所以，
又
，
所以，
令，则，
所以
，
因此；
证明：
解法：当时，且，
此时，
当时，且，
此时，
故综上；
解法：，
令，
在上恒成立，
故在上单调递增，
即在上单调递增，
当时，；
当；
因此在上单调递减，
在上单调递增，
故；
证明：
不妨取曲线上的一点，
设在处的切线即是在处的切线，
则，得，
则的坐标，
由于，
所以，
则有
，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线既是曲线在点处的切线也是曲线的切线．

19.解：，其中为常数．
而，即，所以，
所以．
联立，解得，，
当时，，令，，
则围成的面积．
令，
由题意可知，，，，满足，
即，即在上单调递增，
进而在恒成立，在恒成立．
，，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
故；
若，则时，，故在上为减函数，
故时，，与题设矛盾，
故，即的取值范围为：．
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