2024-2025学年山东省济宁一中高三（上）质检数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年山东省济宁一中高三（上）质检数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“或”是“幂函数在上是减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
5.某班上有名同学相约周末去公园拍照，这名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有( )
A. B. C. D.
6.已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
C. 设随机变量，，则
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足，且，若，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 是周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数恒过定点______．
13.已知，，，则 ______．
14.若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递减，求的取值范围；
若直线与的图象相切，求的值．
16.本小题分
已知展开式的二项式系数和为，展开式的奇数项的二项式系数和为，且，则在的展开式中，求解下列问题：
二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项．
17.本小题分
某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为．
记甲同学前两天去东阅览室的总天数为，求的分布列及数学期望；
如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由．
18.本小题分
已知函数，，且恒成立．
求实数的值：
证明：．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
由条件知，在上恒成立，即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以，
当时，当且仅当时，，符合题意，
故的取值范围为
，
设直线与的图象相切于点，
则
由得： ，
因为函数与在上单调递增，所以函数在也单调递增，且，
所以，故．
16.解：由已知得：，，
所以由题知，，解得，
所以的展开式中第项的二项式系数最大，
即．
设第项的系数的绝对值最大，
则．
所以，得解得，
因为，所以，所以系数的绝对值最大的项是第项，
即．
17.解：设“第天去东阅览室”，“第天去西阅览室”，
则与对立，与对立，
由题意得，，，，
，
，
，
则的分布列为：
所以．
由全概率公式得
，
所以，
所以，所以，
所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大．
18.解：因为不等式恒成立，
所以，
令，
，
当时，单调递增，的值域为，不符合题意，
当时，则，也不符合题意，
当时，令，得，
令，
则，
所以在上单调递增，且，
所以有唯一实数根，
即有唯一实数根，设为，即，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，
故只需，
令，上式即转化为，
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而，
所以，
所以，解得，
从而有，则，
所以满足条件的实数为．
证明：借助第问结论，
由知，当时，对任意恒成立，
所以，当且仅当时等号成立，
则，
所以要证明，
只需证，
即证，
设，，则，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，，即，
在恒成立，在上单调递减，
所以，，即，
所以要证，只需证，
即，令，
则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
即恒成立．
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