2024~2025学年北师大版数学九年级上册 2.5一元二次方程的根与系数的关系 教学设计

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
一、教材分析
本节课是北师大版《数学九年级（上）》第二章第五节. 根据《义务教育数学课程标准》的要求，一元二次方程根与系数的关系为选学内容，不作考试要求.教科书首先引导学生通过解几个具体的一元二次方程，思考方程的根与系数的关系问题；在此基础上，把问题一般化，得到一元二次方程的根与系数的关系.最后利用这一关系解决一些简单的问题.
二、学情分析
学生已学过的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础.本节课从相关知识的复习入手，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程.
三、教学目标
1.理解掌握一元二次方程的两根，与系数a，b，c之间的关系.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
四、教学过程
（一）复习回顾
1.一元二次方程的一般形式？
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？
3.当，，时，根的情况如何？
4.一元二次方程的求根公式是什么？
【设计意图】以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络.
（二）情境引入
同学们，我们来做一个游戏，看谁能快速地说出下列一元二次方程的两根之和与两根之积？
（1）； （2）； （3）.
【设计意图】通过游戏入手，激起了学生探究新知的兴趣. 自然引出本节课要学习的课题.
（三）探究新知
计算填表（验证第一环节游戏的结果）.
方程
问题：
1.你找到快速求出一元二次方程的两根之和与两根之积的方法了吗？
2.刚才我们列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？
3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程的根，与a，b，c之间的关系是____________.
4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明.
（分小组讨论以上的问题，并做出推理证明.）
【设计意图】本环节采用“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程，使学生既动手动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神.
（四）尝试发展
1.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积.
（方程两根为，，是常数）
（1），= ________，= ________ ；
（2），= ________ ，= ；
（3），= ________ ， = ________；
（4） ，= _______， = _______.
（学生迅速演算或口算）
2.利用根与系数的关系，求一元二次方程的两个根的
（1）平方和； （2）倒数和； （3）差.
3.已知方程的一个根为1，求它的另一个根及k的值.
【注意事项】两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点.将两根的平方和、倒数和、差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练地掌握.
（五）拓展创新
1.已知三角形的两边长a，b是方程的两个根，三角形的第三条边c=4，求这个三角形的周长.
2.已知三角形的两边长a，b是方程的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？
3.利用根与系数的关系，写出一个一元二次方程，使它的两根分别为2和3.
【设计意图】第1，2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力.第3题已知方程的两根写出一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度.
（六）感悟收获
师生互相交流总结.
在方程中，a，b，c有哪些作用？
1.二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程.
2.当时，，a，c异号，方程两根互为相反数.
3.当时，可判定根的情况.
4.当，时，，.
5.当，时，方程必有一根为0.
（七）作业布置
1.习题2.8 第1，3题.
2.已知方程的一个根为2，求另一个根及m的值.
五、教学反思
本节课以学生为主体进行教学，采用“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程教学.让学生从实践中反思过程，经历根与系数的关系的发生、发展过程，并从中体验成功的乐趣. 引导学生发现问题，师生共同解决问题. 指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类.