2024-2025学年江苏省扬州市仙城中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市仙城中学高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
3.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( )
A. B. C. D.
4.设函数，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，，，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
6.若，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域是时，的取值范围为集合；它的值域是时，的取值范围为集合，则下列的表达式中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若函数的图象在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是( )
A. 在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B. 在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C. 在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D. 在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
11.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”下面函数解析式能够被用来构造“同族函数”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，则 ， ．
13.若是定义在上的减函数，则的取值范围是______．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛后，甲得分的概率为______；甲的总得分不小于的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，关于的不等式为常数的解集为．
若，求实数，的值；
当时，恒成立，试求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
若，对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为如果比赛采用“五局三胜即有一方先胜局即获胜，比赛结束”比赛规则．
求甲：获胜的概率；
记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，且，是的中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，
若在处的切线也是的切线，求的值；
若，恒成立，求的最小整数值．
参考答案
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15.解：当时，关于的不等式即的解集为，
可得，是方程的两根，
则，，
解得，；
关于的不等式为常数的解集为，
可得，是方程的两根，
则，即有，
当时，恒成立，即，
即有，即对恒成立．
由，可得，
设，
又在上单调递增，可得时，取得最大值，
所以的最小值为，
所以，
即的取值范围是．
16.解：由题意得函数的定义域为，
由函数在点处的切线方程为，
得，解得，
此时，．
令，得或．
当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为．
由得．
不等式可变形为，
即因为，，且，
所以函数在上单调递减．
令，
则在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
因为当时，，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，
即实数的取值范围为．
17.解：记甲：获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，
所以，
答：甲：获胜的概率为．
可能取值是、、，
所以，
，
，
则．
18.解：证明：设与交于，连接，
因为，为正方形的对角线，
所以为的中点，且，
因为是的中点，
所以，
因为，
所以，
因为平面底面，平面平面，平面，
所以平面，
因为面，
所以，
因为，面，，
所以面．
因为面，，面，
所以，
因为是的中点，
所以，，
因为底面是正方形，
所以，
在中，为的中点，
所以，
同理，且，
因为，面，，
所以面，
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
因为，，
所以，
令，则，，
所以，
同理可得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
19.解：由，
得，则，
又，在处的切线方程为．
联立，得．
由题意，，且，解得；
，恒成立，
即对任意恒成立，令．
当时，得；
若，，．
的正根为，则在上单调递增，
而，可得在上成立，与矛盾；
当时，在上成立．
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，即，
可得时，
在上成立．
的最小整数值为．
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