2023-2024学年河北省衡水市深州中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省衡水市深州中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点( )
A. B. C. D.
4.某校举办歌唱比赛，将名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第百分位数估计为( )
A. B. C. D.
5.设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
8.如图，，分别是椭圆：的左、右顶点，点在以为直径的圆上点异于，两点，线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，公差为，，，则( )
A. B.
C. 是数列中的项 D. 取得最大值时，
10.如图，已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则( )
A. 圆台的侧面积为
B. 直线与下底面所成的角的大小为
C. 圆台的体积为
D. 异面直线和所成的角的大小为
11.已知函数，则( )
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的极大值点为
C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
12.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点则( )
A.
B. 当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量若，则 ______．
14.已知，，则 ______．
15.已知正实数，满足，则的最小值为______．
16.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
若，求的最小值．
18.本小题分
设为数列的前项和，．
求数列的通项公式；
设，证明：．
19.本小题分
零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径单位：厘米
零件个数
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这个零件的直径的平均数及方差同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表．
分别求，的值；
试估计这批零件直径在的概率；
随机抽查个零件，估计在这个零件中，零件的直径在的个数．
参考数据：；
若随机变量，则，，．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，．
若平面，求的值；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若为函数的正零点，证明：．
22.本小题分
如图，已知点和点在双曲线：上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆：分别交于，两点．
求双曲线的标准方程；
设直线，的斜率分别为，，求的值；
证明：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为在中，角，，所对的边分别为，，，
，
所以，
即，
即；
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
18.解：当时，，
当时，，
两式相减得：，则，
当时，，
又当时，，当时，，则，
显然，符合，
数列的通项公式是；
证明：由知，，
．
19.解：由平均数与方差的计算公式分别得：
，
，
故，．
设表示零件直径，则，
，
由对称性得，，即，
同理，，
，即，
，
故这批零件直径在的概率为，
由知，，
所以在这个零件中，零件的直径在的有个．
20.解：取的中点，连接，过点作的平行线，，
因为，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：
所以，，，，，
因为，
所以，
所以，，，
所以，
，
根据题意可得面的法向量，
因为平面，
所以，
解得．
当时，由上可得，
，，
设平面的法向量，
所以，
令，得，，
所以，
，，
设平面的法向量，
所以，
令，则，，
所以，
所以，．
21.解：函数的定义域为，，
当即时，，函数单调递增，此时增区间为，没有减区间；
当时，由可得：
函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得：
函数的减区间为，增区间为；
证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，
可知，等价于，
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，
则，
可得函数单调递减，则，
可得当时，，
故有，即得证．
22.解：由题意可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为；
设直线：，其中，，，
联立方程组，整理得，
由于，且，
所以，．
因为直线的斜率，的斜率，
所以，
，
所以
，
即为定值为．
证明：设直线的方程为，，，
由，可得，
所以，，
所以，
又，
，或，
当时，，直线过定点，不符合题意，
当时，，直线过定点，符合题意，
所以直线过定点．
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