2024-2025学年河南省新未来高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新未来高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知单位向量的夹角为，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季小明和小王都计划在南京、北京、西安、厦门、杭州这个城市中选个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为，圆台的下底面圆的半径为，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，若成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A.
B.
C. 复数是方程的一个根
D. 复数在复平面内所对应的点位于第二象限
10.已知函数的最大值为，则( )
A. B. 当时，
C. D. 当时，
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于，两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则( )
A.
B. 线段的中点和线段的中点的连线与轴平行
C. 以点，，，为顶点的四边形可能为等腰梯形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
13.已知函数在区间上有且仅有个零点，则实数的取值范围为______．
14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点包括边界，若平面，则点的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
某学校对高三班名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中，且分别表示这名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为．
求与的样本相关系数；
从概率统计规律来看，本次考试高三班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计该校共名高三学生中，数学成绩位于区间的人数．
附：回归方程中：
样本相关系数
若，则，
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，F.
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
设点在椭圆上点不在坐标轴上，证明：直线与椭圆相切；
设点在直线上点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，若和的面积之和为，求直线的方程．
19.本小题分
欧几里得在几何原本中证明算术基本定理：任何一个大于的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和．
若数列，求数列的前项和；
对互不相等的质数、、，证明：，，并求的值．
参考答案
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15.解：的定义域为，
由题知，，即，
又，所以，即，
联立解得，．
由知，，，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以当时，取得极小值，无极大值．
16.解：因为，
所以，
又，
所以，
所以；
因为，，
所以，
解得，即，
因为，所以，
所以数学成绩服从正态分布，
因为
，
所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人．
17.证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，且三棱柱为正三棱柱，
所以平面，
又，平面，所以，，
因为为正三角形，所以，
故，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
因为，，
所以，，
又，，平面，
所以平面．
解：由知，，
所以，
由知，平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
则，
令，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
18.解：由题知，，解得，
所以椭圆的标准方程．
证明：因为点在椭圆上，所以，即，
联立消去整理得，
即，即，显然方程有唯一解，
所以直线与椭圆相切．
设，，，
将代入，解得，
因为点在椭圆外，所以或，所以，
由可得，切线，的方程分别为，
因为点在切线，上，所以，
所以点，在直线，即直线的方程为，
联立得，，
则，
所以
，
记点，到直线的距离分别为，，
则，
因为和的面积之和为，
所以，
解得，所以的方程为或．
19.解：由题意可知：的正因数有，，，，，
则，
可得，
所以．
证明：若为质数，则，
因为、、为质数，可知：
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
且
，
所以，．
因为，
则，
所以．
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