2024-2025学年江苏省南京市宁海中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市宁海中学高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数的共轭复数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设为等差数列的前项和，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，，实轴长为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. 不存在零点 D. 为奇函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11.已知抛物线：，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的焦点为，则( )
A.
B. 点与抛物线上任意一点的最短距离为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为______．
13.若时，曲线与的交点个数为______．
14.如图，在平面四边形中，，，，，
则四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
证明：数列为等比数列；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若函数在处的切线与直线：垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，几何体中，，四边形是矩形，，点为的中点，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
某工厂生产一批机器零件，现随机抽取件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如表：
性能指标
产品件数
求该项性能指标的样本平均数的值若这批零件的该项指标近似服从正态分布，其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的倍，甲机床生产的零件的次品率为，乙机床生产的零件的次品率为，现从这批零件中随机抽取一件．
求这件零件是次品的概率；
在的条件下，若从这批机器零件中随机抽取件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望精确到整数．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，．
求证：为定值，并求出该定值；
设直线与轴交于点，求的面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：证明：因为，
所以，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
由可得，，即，
所以，
所以，
前项和，
，
两式相减可得：，
化简可得．
16.解：当时，，，
令，可得，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故在上的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数的极小值是唯一的极小值，无极大值．
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
因为函数的图象在处的切线与直线：垂直，
所以，即，解得，
所以．
因为对，恒成立，
所以对，恒成立．
令，则，
令，解得，令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：，
所以实数的取值范围为．
17.解：Ⅰ证明：连结交于，连结，
因为四边形是矩形，所以点为的中点，
因为点为的中点，所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ因为四边形是矩形，
所以，
因为，，
所以平面，
所以平面，
所以以点为原点，分别以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，，
所以，
令，得，，
所以，
因为平面，
所以，
因为，，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
即 ，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：，
因为，所以，
则．
设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，
，则．
由及可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，所以随机变量的数学期望为．
19.解：设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
由，得，即，
所以直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离为，
所以，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
设直线的方程为，其中，且，即，
设直线与椭圆交于点，，
联立，得，
则，，
证明：
，为定值，得证．
直线的方程为，
令，得，故，
设直线与轴交于点，
直线的方程为，
令，得，故，
联立，得，
解得或舍去，
则，
所以的面积，
由可知，，
所以，代入上式得，
因为点在轴下方且不在轴上，
所以或，即，
所以，
当时，，
当时，，
所以只需考虑，令，则，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以面积的最大值为．
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