2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图是函数的部分图象，则的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，已知，则( )
A. B. C. D.
5.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去二个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，，则数列的第项为( )
A. B. C. D.
7.若，则 ( )
A. B.
C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为、过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减
11.已知函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知函数，记等差数列的前项和为，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知内角、、的对边分别为、、，且的面积为，点是线段上靠近点的一个三等分点，．
若，求；
若，求的值．
16.本小题分
设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
求椭圆方程及其离心率；
已知点是椭圆上一动点不与端点重合，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
17.本小题分
有个正数，排成行列的数表：
其中表示位于第行，第列的数数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知，，．
求公比．
求．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，．
求证：；
求三棱锥的体积；
点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
若在存在极值，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由题可得：，故，
又，即，
，即，
在中，根据余弦定理得，
即，
，即；
，，
，即，
又，，
又，
由得：，
．
16.解：由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
由题意可知，直线的斜率存在且不为，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
17.解：由题意，设第行的公差为，
则，
，
设每一列的公比均为，
则，即，
解得，
每个数都是正数，
，故公比．
由可得，，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
，
每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，
，
，，
设数列的前项和为，
则
，
，
两式相减，
可得
，
．
18.解：证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，
，
又，不在同一条直线上，
．
，点到平面的距离为，
故．
解：设，
则，
设平面的法向量，
则，则，
令，得，，
，
设平面的法向量，
则，则，
令，得，，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
．
19.解：时，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为．
，由，得或，
所以函数的定义域为，
若存在，，使得曲线关于直线对称，
则，即曲线关于直线对称，
则，，
所以，解得．
综上，，．
，
要使在存在极值，则方程存在正根，
记，，，
当时，，所以在上单调递增，，不符合题意；
当时，，所以在上单调递减，，不符合题意；
当时，令，得，当时，，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
易知时，，故只需，
记，，
，
所以在上单调递增，所以，
故取，，有，即，符合题意．
综上所述，时，在存在极值．
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