2024-2025学年江西省九江市上进联考高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省九江市上进联考高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知一组数据：，，，，的平均数为，则该组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
4.定义运算：已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知某地区高考二检数学共有名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在分以下的有人，则可以估计( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线与交于，两点，过点作的切线与，轴分别交于，两点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 与有相同的最小值
C. 直线为图象的一条对称轴
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图像
10.已知函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 的图象关于点对称
C. 有个零点
D. 当时，
11.已知正方体的体积为，线段，的中点分别为，，动点在下底面内含边界，动点在直线上，且，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 动点的轨迹长度为
C. 不存在点，使得平面
D. 四面体体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.定义：如果集合存在一组两两不交两个集合的交集为空集时，称为不交的非空真子集，，，，且，那么称子集族构成集合的一个划分已知集合，则集合的所有划分的个数为______．
14.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，点在以为圆心、为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中．
求的值；
若的面积为，周长为，求的外接圆面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别在棱，上，且，，，四点共面．
证明：；
若，且二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上．
求的方程；
已知为坐标原点，点在直线：上，若直线与相切，且，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
记中切线方程为，比较，的大小关系，并说明理由；
若时，，求的取值范围．
19.本小题分
已知首项为的数列满足．
若，在所有中随机抽取个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；
若数列满足：若存在，则存在且，使得．
若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；
在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，
因为，，故，则，
因为，故．
由题意，故．
由余弦定理得，
解得故的外接圆半径，
故所求外接圆面积．
16.解：证明：因为，
故，则，
因为，平面，平面，
故而平面平面，平面，
故则．
因为二面角为直二面角，故平面平面，
面平面平面，平面，，
故平面，
又底面为正方形，
所以，，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，
故，，，，
设平面的法向量为，
则
令，可得，
设平面的法向量为，
则
令，可得，
故平面与平面夹角的余弦值．
17.解：设，依题意，，
解得，，
故C的方程为．
如图，依题意，
联立，
消去，可得，
依题意，需使，
整理得．
因为，
则直线的斜率为，
则其方程为，
联立，
解得，
即，
故，
将代入得，，
故．
18.解：由，得，且，
则，
故所求切线方程为，即；
由知，结论：，
下面给出证明：
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即；
，
则在上恒成立，
令，则，令，得，
则当时，，当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可得，
当时，，，，此时，；
当时，令，函数在区间上单调递增，
又，，
则存在，使得，且，
而，不合题意，舍去．
综上所述，的取值范围为．
19.解：依题意，，故，
即，故，或，
因为，，故；
则：，，，；：，，，；：，，，；：，，，，
故的可能取值为，，，
故，
故的分布列为：
故．
证明：由可知，当时，或，；
假设此时数列中存在最小的整数，使得，
则，，，单调递增，即均为正数，且，所以；
则存在，使得，此时与，，，均为正数矛盾，
所以不存在整数，使得，故．
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
则．
解：由，可得，
由题设条件可得，，，，，，必为数列中的项；
记该数列为，有；
不妨令，则或，
均不为；
此时或或或，均不为．
上述情况中，当，时，，
结合，则有．
由可知，使得成立的的最小值为．
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