2024-2025学年广东省肇庆市德庆县香山中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年广东省肇庆市德庆县香山中学高三（上）8月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.设，，，则三者的大小顺序是( )
A. B. C. D.
3.设命题：，命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数中的图像可能是( )
A. B.
C. D.
6.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A. B. C. D.
8.已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式中正确的有( )
A. B. C. D.
10.设正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知定义在上的函数满足为偶函数，的图象关于原点对称，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B.
C. 当时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有______种用数字填写答案
13.已知集合，，若，则的最小值为______．
14.已知函数若存在，，，使，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市销售商为了解、两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示：
根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？
用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出人作为幸运顾客，记人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：其中．
临界值表：
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
设是函数的导函数，求零点之间距离最小时的值．
17.本小题分
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当时，．
求证：是周期函数；
当时，求的解析式；
计算．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
19.本小题分
已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列．
求函数在区间上的值域；
求证：函数在区间上有且仅有一个零点；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设：假设购买手机款式与性别无关，
由，
根据小概率值的独立检验，我们推断不成立，即认为购买手机款式与性别有关；
由题设，从所有购买两款手机的人中，选出人购买款手机的概率为，
所以选出人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数，
故，，，，
所以的分布列如下：
所以．
16.解：当时，，可得，切点为，
，，
在处的切线方程为，
即．
由，得，
，
函数有两个零点，
分别设为，，则，，
，
当时，函数零点之间距离最小为．
17.解：证明：，
．
是周期为的周期函数．
根据题意，，，，
又，
，
即，．
根据题意，，，，
又是周期为的周期函数，
．
18.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
19.解：由，
当时，，即函数在区间上是严格增函数，
且，，
所以在区间上的值域为．
证明：当时，，
当是奇数时，，
函数在区间上是严格减函数；
当是偶数时，，
函数在区间上是严格增函数；
且，故，
所以由零点存在定理可知，
函数在区间上有且仅有一个零点．
证明：由可知函数在上有且仅有一个零点，
且满足，即．
又因为，故，
所以由零点存在性定理可知，
函数在上有且仅有一个零点，
于是，，
，
因为，得，
所以，即；
或者
因为，
由可知，当时，有，
故，所以；
由可知．
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