2024-2025学年天津市南开中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某相关变量，的散点图如图所示，现对这两个变量进行回归分析，方案一，根据图中所有数据分析，可得到经验回归方程，样本相关系数为；方案二，剔除点，根据剩下数据分析，可得到经验回归方程，样本相关系数为，则( )
A. B.
C. D.
3.若，，则“且”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知函数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.命题“，”为假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字，，按从小到大的顺序排列的概率为( )
A. B. C. D.
8.，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；年笛卡尔开始使用指数运算；年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数，且的反函数为，且已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知函数是定义在上的增函数，当时，若，其中，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数的定义域为______．
12.展开式中的项是______．
13.函数的最小值为______．
14.集合，，若，则实数的取值范围为______．
15.已知函数，则函数的定义域为______．
16.若对任意正数，不等式都成立，则实数的取值范围为______．
17.已知集合，，均是集合的非空真子集，则以集合，，为元素所构成的集合的个数为______．
18.函数的最小值为______．
19.已知实数，满足，则的最大值为______．
20.定义在上的函数对任意实数，恒有，当时已知，则 ______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，、、、分别是、、、的中点，平面．
求证：；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
22.本小题分
设，两点的坐标分别为直线，相交于点，且它们的斜率之积是设点的轨迹方程为．
求；
不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点．
23.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.或
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17.
18.
19.
20.
21.证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为，分别是、的中点，
所以，
所以平面，
又平面，所以．
解：连接，则，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以点到平面的距离为．
解：设，，则，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
整理得，即，
解得或舍，
所以，，
故在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且线段的长度为．
22.解：设，
易知，
所以直线的斜率，
同理得直线的斜率，
此时，
整理得，
则点的轨迹是除去两点的椭圆；
证明：设，，
当直线斜率不存在时，
可得，，
又，
解得，，
此时直线得方程为，
当直线斜率存在时，
设直线得方程为，
此时，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
可得，
整理得
此时，
解得或，
当时，直线，
此时直线恒过点，不符合题意；
所以，
则直线恒过原点．
综上，直线恒过原点 ，原命题得证．

23.解：的定义域为，
，
令，解得或，
当时，时，；时，；
故的递减区间是，递增区间是；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
当时，，故的单调递增区间为；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是．
令得，设，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，因为时，时，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，所以
，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
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