2024-2025学年江苏省南京市南京一中高三（上）段考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京一中高三（上）8月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，若是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.从名男医生和名女医生中，选出名医生组成一个医疗小组，若医疗小组都有男女医生参加，则不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
4.设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若则 B. 若则
C. 若则 D. 若则
5.已知，是单位向量，，若，则
( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某公司给一款新产品投放广告，根据统计，投入单位：万元的广告费与该产品的收益单位：万元的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列结论正确的是( )
A. 与的样本相关系数
B.
C. 当投入万元的广告费时，该产品的收益一定是万元
D. 时，残差为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 是偶函数
C. 在上递增 D. 是图象的一条对称轴
11.已知抛物线：的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点，和点，，其中点，在第一象限，过抛物线上一点分别作，的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，若，则( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则直线的倾斜角为
C. 四边形的面积的最小值为 D. 四边形的周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.设随机变量服从正态分布，，，则的最小值为______．
14.记的内角，，的对边分别为，，，已知为钝角，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是各项均为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和．
16.本小题分
甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立。经抽签决定，第回合由甲发球．
求第个回合甲发球的概率
设前个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望．
17.本小题分
如图，在多面体中，底面是平行四边形，，，为的中点，，，．
证明：
若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左，右顶点分别、，短轴长为，以为直径的圆与直线相切
求椭圆的方程．
过点作直线交椭圆于，两点与，不重合，连接，交于点证明：点在定直线上．
19.本小题分
若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”．
求证：函数不是“增函数”；
若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
参考答案
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15.解：因为，，成等比数列，
所以，
因为是各项均为正数，公差不为的等差数列，设其公差为，
所以，
所以，
所以．
设，所以，
令，且为整数，
又由，，
所以可以取，，，，，，
此时分别为，，，，，，
所以区间内所有“调和数”之和
．
16.解：第回合甲发球的概率为，乙发球的概率为．
第回合甲发球的概率为，乙发球的概率为．
第个回合甲发球的概率为．
所以，第个回合甲发球的概率为．
可以取，，，．
当时，前个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第，回合发球，乙第，回合发球，其概率为，
第二种情况，甲第，回合发球，乙第，回合发球，其概率为，
第三种情况，甲第，回合发球，乙第，回合发球，其概率为，
故前个回合甲发球两次的概率为；
则，
所以的分布列为
．
17.解：在中，由余弦定理可得
，
所以，所以，
所以．
又因为，，，平面．
所以平面．
又平面．
所以．
显然，四边形为平行四边形，所以．
又，所以，
所以．
因为，所以，
由可知，
又，，平面．
所以平面．
取中点，连接，设．
设多面体的体积为，
则．
解得．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
则平面的一个法向量．
所以，，
设平面的一个法向量，则
即取．
所以，．
由图像可知，平面与平面夹角为锐角
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：易知：，
由以为直径的圆与直线相切，
所以点到直线的距离为，
所以，
所以椭圆的方程为．
证明：如图：
因为直线的斜率不为，所以可设直线：，
将其代入椭圆，得，
整理得．
由得．
设，，则，．
所以，
又，，
所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
所以，
所以，
即与的交点在定直线：上．
19.解：证明：
取，则，因为，
故函数不是“增函数”；
因为函数是“增函数”，
故任意的，
有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即，
故的取值范围为；
，
根据题意，得，可得方程的一个解为，
令，则，故在上是严格增函数，
所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，故；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即，
所以在上是严格增函数，
因为，则，
故，得证，
所以函数是“增函数”．

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