2024-2025学年重庆百强校高三（上）入学适应性数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆百强校高三（上）入学适应性数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则“”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种这五种规格党旗的长单位：成等差数列，对应的宽为单位：，且长与宽之比都相等，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度单位：满足：为常数若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为参考数据：
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
6.已知，若函数有三个零点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的定义域为，值域为，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将一组样本数据的平均数混入到该组样本数据中，由此估计出来的统计量不变的有( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差
10.若，，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______．
13.已知直线：是曲线和的公切线，则实数 ______．
14.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，若，且．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求．
16.本小题分
已知函数
若，讨论的单调性；
若，已知函数，若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是椭圆的顶点．
求椭圆的标准方程；
已知点，，若，，三点均在椭圆上，且，直线，，的斜率均存在，请问直线是否过定点，若过定点求出定点坐标，若不过定点，说明理由．
18.本小题分
现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏．
甲将游戏币向上抛出次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大直接写出结果，不用写过程；
甲将游戏币，，向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；
将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
19.本小题分
已知函数，
求的最大值；
求函数的单调区间；
若，求实数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，令，得，
，当时，，
两式相减，得，
，即．
，
，都满足，
故．
，
，
所以．
16.解：，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由，得，即，
令，则，即不等式在恒成立，
设，则，
令，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，即实数的取值范围为．
17.解：椭圆的焦点，椭圆的焦点
易知椭圆的焦点在轴上，且，
故椭圆．
因为点，在椭圆上，解得．
设，，直线：．
联立，得，
则，
进而，
，
因为，所以，即，
即，
即，
即，
所以，
因为，所以点不在直线上，则，所以，
所以直线过定点．

18.解：由题意可知，，
，
当时，最大；
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，可取，，，，
则，
，
，
，
故的分布列为：
不妨假设按照，，，的顺序抛这枚游戏币，
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，，，，
于是，
即，即，
记，则，
故数列为首项是，公差为的等差数列，
故，
则，
故，
则，因此公平．
19.解：据题意，的定义域为，由，
所以在单调递增，在单调递减，所以．
据题意，，解得或，
所以的定义域为，
由，令，
则，
于是知在单调递增，在单调递减，
所以，则，
即在单调递减，也在单调递减．
令，
则，
当时，有，于是对，
有，单调递增，存在，使得，
即，即，矛盾；
当时，有，于是对，有，单调递增，
存在使得，
即，即，矛盾；
当时，，则在单调递减，又，
所以，则，即，符合题意．
综上：．
第7页，共8页