江苏省南通市海安市2025届高三上学期开学数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市2025届高三上学期开学数学试题
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.函数在区间上( )
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
4.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，，函数，则“关于的不等式的解集为”是“恒成立”的条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要
7.已知直线与曲线相切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若函数的个零点由小到大排列成等差数列，则( )
A. B. C. D.
9.下列曲线平移后可得到曲线的是( )
A. B. C. D.
10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好( )
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了，第二次增加了地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
11.设函数的定义域关于原点对称，且不恒为，下列结论正确的是( )
A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为
B. 若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在
C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
二、填空题：本题共3小题，共15分。
12.设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个 ．
13.已知矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后与交于点设，则 用表示，当的面积最大时， ．
14.已知为常数，且定义在上的函数满足：，且当时，，则 ．
三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。
15.如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是棱，，上的动点，且G.
求证：
若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
16.某学习小组研究得到以下两个公式：
．
请你在和中任选一个进行证明
在中，已知，，，求的面积．
17.分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与在轴上方的曲线分别交于点，．
当为的上顶点时，求直线的斜率
求四边形的面积的最大值．
18.已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为轮对抗经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响记在轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件求：
概率，
经过轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差的概率分布及数学期望
在轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
19.函数与的图象有怎样的关系请证明
是否存在正数，对任意的，总有若存在，求的最小值若不存在，请说明理由
已知常数，证明：当足够大时，总有
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.证明：以为坐标原点，为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则，，设，
则，，
故，，
所以．
所以，所以G.
设平面的法向量，
则，即
令，则，所以．
又可知，平面的法向量．
设平面与平面的夹角为，则．
又，
故，解得或．
因为，所以，所以．

16.解：因为
，
若选
，
所以．
若选
，
所以．
记的内角，，的对边分别为，，．
由，得．
又因为，
所以．
由知，，
由正弦定理，得．
又，所以，
由余弦定理，得，所以．
因为，所以，
所以的面积．
17.解：根据椭圆知，，，上顶点
所以当为的上顶点时，直线的斜率为，平行直线的斜率也为，
所以直线的方程为．
与椭圆联立方程组并消去，得，
解得或，
因为点在轴上方，
所以，，所以点
所以直线的斜率为．
设与的另一交点为．
因为，由椭圆的对称性，知
又设直线与的距离为，
则四边形是梯形，面积
．
设直线斜率不可能为，可设其方程为：，
与椭圆的方程联立并消去，
得．
则，
所以三角形面积满足：
．
记，
则，
因为在上随的增大而变大，
所以当即时，取得最小值，
此时的最大值为，
当且仅当，即与轴平行时等号成立，面积最大，
所以，四边形面积的最大值为．
18.解：记红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，．
由独立性，得，
．
经过轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差的可能取值为，，．
由独立性，知事件与独立，
则，
，
．
的概率分布为：
所以的数学期望．
记轮对抗后训练结束为事件，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件．
若在轮对抗中，一方比另一方多击中目标次为净胜轮，少击中目标次为净负轮，击中目标次数相等为平轮，
则事件包括两类情况：
第一类是第轮为净胜轮，前轮中恰有轮为净胜轮，其余为平轮
第二类是第，轮为净胜轮，前轮中恰有轮为净胜轮，轮为净负轮
由独立性，得
．
同理，得．
所以．
所以．
答：在轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为．
19.解：函数与的图象关于直线对称．
证明：设是函数的图象上任意一点，
则，即．
又点关于直线的对称点，
由知，点在函数的图象上，
由点的任意性，知与的图象关于直线对称．
记，则，于是
当时，．
记，则令，得，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，，
所以，总有，
则时，，
又，
所以，总有
综上，存在最小正数，对任意的，总有
由知，当时，单调递减，取，
则当时，．
当时，当足够大时，总有
令，
则问题转化为：，当足够大时，总有．
记，
则，令，得．
所以．
又，
令，，，
则，
令，
则，
所以在单调递增．
所以，
所以在单调递增．
从而，
所以．
所以，且，
所以存在，使得．
又在单调递增，
故当时，有．
所以，，．
综上，常数，当足够大时，总有．
又，，而，
所以当足够大时，总有
综上，常数，当足够大时，总有
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