江苏省南通市海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷（含答案）

江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是增函数
C. 是周期函数 D. 的值域为
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴若点的纵坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递减的函数是( )
A. B.
C. D.
10.下面的结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，则
11.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 的图象关于中心对称 B. 的图象关于对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________．
13.某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ．
14.若存在实数，对任意的，不等式成立，则整数的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中．
求证：；
求点到平面的距离．
16.本小题分
设数列的各项均为正整数．
数列满足，求数列的通项公式；
若是等比数列，且是递减数列，求公比．
17.本小题分
已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
求；
记的角对应的边分别为，若，，求边上的高长的最大值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求证．
19.本小题分
在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，，的离心率为点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点．当轴时，直线为的等线．
求的方程；
若是四边形的等线，求四边形的面积；
设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线．
参考答案
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15.解：连接，
因为在等腰直角三角形中，，
在中，，同理得，
因为，
所以，所以
所以平面，
所以平面．
取中点，则，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设平面的法向量为，，
所以，令，则，则，
又，，
所以点到平面的距离为．

16.解：数列 满足 ，
，
当 时，有 ，得 ，
符合 ，所以 ；
由题设知．
若 ，则 ， 是递减数列，符合题意．
若 ，则当 时， ，不为正整数，不合题意．
若 ，则 ，
当 ，即 时， ，
这与 是递减数列相矛盾，不合题意．
故公比 ．

17.解：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，，可知，，
又由，可知，所以，故，
由，，可得，即，
，
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故AD长的最大值为．
18.解：当 时， ，
则 ，
又 ， ，
所以切线方程为： ，
即 ．
当 ， 时， ，
则有 ，
故只需证明当 时， ．
当 时，函数 在区间 上单调递增，
又 ， ，
故 在区间 上有唯一实根 ，且 ，
当 时， ；
当时， ，
从而当 时， 取得最小值，
由 ，得 ， ，
故 ，
综上，当 时， ．

19.解：由题意知，，，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，，，
解得，，所以的方程为，
设，切线，代入得：
，
所以，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为
当斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，，故，
所以是线段的中点，
因为，到过的直线距离相等，则过点的等线必满足：，到该等线距离相等
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得：，
所以，
所以，
所以，所以，
设，由，所以，，
故曲线的方程为，
由知切线为为，即即，
易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，
由知，，
所以
由得，，
因为，
所以直线为的等线，
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