山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题（含答案）

山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. 或 D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知两条不同的直线和平面，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.由，，，，，组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为( )
A. B. C. D.
7.直线与曲线的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，下列说法正确的是( ) 附：随机变量服从正态分布，则，，．
A. 该市学生数学成绩的标准差为
B. 该市学生数学成绩的期望为
C. 该市学生数学成绩的及格率超过
D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
10.已知函数，则( )
A. 至少有一个零点 B. 存在，使得有且仅有一个极值点
C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，在上单调递减
11.在平面直角坐标系中，已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是设动点的轨迹为曲线，则( )
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线关于某条直线对称
C. 若曲线与直线无交点，则
D. 在曲线上取两点，，其中，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率的值为 ．
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.数列 满足记则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求的周长；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，

证明：平面平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点在上，且．
求的标准方程；
若直线与交于，两点，且的面积为求的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若函数存在正零点，
求的取值范围；
记为的极值点，证明：．
19.本小题分
已知数列为正项数列，数列满足．
试写出一个数列，使得为递增的等差数列；
若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量．
比较与的大小关系，其中，并说明理由；
若，证明：．
参考答案
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由得：，
即得，所以的周长为；
由得：，
所以，因为，
所以，所以，
又，则，即，
所以，
所以的面积．

16.
证明：记，
因为，所以，
所以，
即，
又底面平面，
所以，
因为，且平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
取中点，连接，则，所以平面，
所以三条直线两两垂直，
分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以
设平面的法向量为，
则，可取，
同理设平面的一个法向量为，
则，可取
所以，，
所以，平面与平面的夹角的余弦值为．

17.
由题意，设的标准方程为，
则，，即，所以，
所以的标准方程为；
设，，
由联立得，
由题意，即，
，，显然直线过定点，
所以，
所以，即，
所以，解得或，均满足，
所以或．

18.
由已知可得的定义域为，
且，
因此当时，，从而，
所以的单减区间是，无单增区间；
(ⅰ)由知，，
令，
当时，单调递减．
当时，可知在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
当时，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
当时，，此时，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减．
令，则当时，，
故在内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数的取值范围为；
(ⅱ)由题意，，即
从而，即，
由(ⅰ)知当时，，即，有，
又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得．

19.
不妨令，则，
显然是常数，所以为递增的等差数列，
任意递增的正项等差数列均可；
(ⅰ)若为递增的等差数列，不妨设其公差为，
则，，
所以，
显然，
而，所以也为递增的等差数列；
故，
另一方面
，
第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当，故不能同时成立．
故；
(ⅱ)先证明如下引理：
对于常数，从数列的前顶中等可能的选一个数，为随机变量．
则，其中．
证明：设前项中不小于的最小项为，则，
另一方面
，
故引理成立．
对于给定的常数，记数列为，
从中中等可能性地选取一个数，记为随机变量，则，且．
由引理知．

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