2024-2025学年湖南省永州市宁远三中等校联考高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省永州市宁远三中等校联考高三（上）入学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
7.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.现有名男生和名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住人，且男女不能混住则不同的安排方法有种．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导过程正确的选项是( )
A. B.
C. D.
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 的最大值为
11.下列说法中正确的是( )
A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好
B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
C. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为
D. 已知随机事件，满足，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，求 ______．
13.已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______．
14.若函数只有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、，分别是内角，，的对边，，．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点，底面．
求证：平面；
当时，求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求的离心率；
若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若时，证明：当时，恒成立．
19.本小题分
已知数组：，，，，如果数组：，，，满足，且，其中，，，，则称为的“兄弟数组”．
写出数组：，，，，，的“兄弟数组”；
若的“兄弟数组”是，试证明：，，成等差数列；
若为偶数，且的“兄弟数组”是，求证：．
参考答案
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15.解：由及正弦定理可得，，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理可得，，
由知，
因为的面积为，所以，解可得，
则
16.解：点，分别是，的中点；
；
又平面；
平面；
连接，则，又底面；
，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，，，，；
可得到以下几点坐标：
，；
，；
设平面的法向量为，则：
；
取，则，，；
设直线与平面所成角为，则；
直线与平面所成角的大小为．
17.解：依题意，，解得，
则离心率；
由可知，椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，
点到直线的距离为，则，与易知矛盾；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
设，，
联立，消去整理可得，，
则，
由弦长公式可得，，
点到直线的距离为，
则，
解得或，
则直线的方程为或．
18.解：，
则，，
若，，的减区间为，无增区间；
若时，当时，，
当时，，
所以的减区间为，增区间为；
证明：因为，
所以当时，，
令，
则，
令，
则在上递增，
，
所以在上递增，，
故在上递增，，
所以当时，恒成立．
19.解：由知：，，，，，，
，，
，
，
，同理可得：，，，
：，，，，，．
证明：对于数组及其“兄弟数组”，
，，，，，，
将上述几个等式中的第个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加得：
，
即，
，
，，成等比数列，
证明：，，，，，
由于为偶数，将上述个等式中的第，，，，这个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加得：
，
即，
．
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