2024-2025学年河南省郑州市河南省实验中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省实验中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则，，的关系为( )
A. B. C. D.
2.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
3.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍那么当“进步值”是“退步值”的倍时，大约经过天参考数据：，，
A. B. C. D.
4.已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.已知正数，，，满足，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正实数，且，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．令函数，以下结论正确的有( )
A. B. 为奇函数
C. D. 的值域为
11.已知函数的定义域为，且当时，若对任意的，，都有，则下列结论正确的是( )
A. 的图象过点 B. 为奇函数
C. D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知多项式，则 ______．
13.设函数是定义在整数集上的函数，且满足，，对任意的，都有，则 ______．
14.若函数的最小值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．
试证明对数均值不等式的前半部分或后半部分：；
设，试证明：．
16.本小题分
某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各人，统计他们的竞赛成绩满分分，每名参赛学生至少得分，并将成绩分成组：，，，单位：分，得到如下的频率分布直方图．
现将竞赛成绩不低于分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于分的学生称为“非科技知识达人”把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．
科技知识达人 非科技知识达人 合计
男生
女生
合计
将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取人进行访谈，记这人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：其中．
17.本小题分
为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量千克与某种液体肥料每亩使用量千克之间的对应数据如下．
千克
千克
由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；
求关于的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，参考数据：．
18.本小题分
已知函数，．
若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
给定正整数，设集合，，，，，对于集合中的任意元素和，记设，且集合，，，，，对于中任意元素，，若则称具有性质．
若集合具有性质，试写出的表达式；
判断集合，，是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由；
是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.证明：不妨设，
因为，
设，，则问题转化为：，，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
故，成立，所以．
又因为，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，故，成立，所以．
所以成立．
根据，
所以，
所以，成立．
16.解：列联表补充完整如下：
科技知识达人 非科技知识达人 合计
男生
女生
合计
零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关，
则，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关；
从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率，
由题意可知：，的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
17.解：由已知数据可得，
，，
，，
相关系数．
，可用线性回归模型拟合与的关系；
，
，，
线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为千克．
18.解：依题意，在实数集上恒成立．
当时，，成立；
当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
不等式，
等价于，
即．
当时，解原不等式可得或；
当时，不等式整理为，解得；
当时，方程的两根为，，
当时，因为，解原不等式得；
当时，因为，原不等式的解集为；
当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
19.解：由题意可知表示集合有个元素，且，
所以，．
对于，，，
则，同理，
而，同理，
所以具有性质．
且．
假设存在集合具有性质，易知集合中有个元素且．
若，则，不符合个元素，舍去；
若，则，，，，
又，
所以不满足，舍去；
若，则，，，，，，
又，
所以这组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有个元素，矛盾，舍去；
若，则，，，，
又，
所以不满足，舍去；
若，则，只有一个元素，舍去．
综上，不存在具有性质的集合．
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