2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量和的夹角为，且，，则等于( )
A. B. C. D.
4.的值是( )
A. B. C. D.
5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，一个圆柱形笔筒的底面直径为笔筒壁的厚度忽略不计，母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知不等式恰有个整数解，求实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：，，，，，，，单位：环，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的平均数是
C. 这组数据的极差是 D. 这组数据的标准差是
10.已知复数，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
11.已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数为周期函数
C. 函数为上的偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，若为等差数列，则 ______．
13.记，则的值为______．
14.如图，在矩形中，，，，，，，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，是边上的点，，，．
求与的面积；
求边的长．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
记直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
17.本小题分
在中，，，为边上一点，，为上一点，，将沿翻折，使到处，．
证明：平面；
若射线上存在点，使，且与平面所成角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ讨论的单调性；
Ⅲ若关于的方程有两个正根，，证明：．
19.本小题分
将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
若将，，，四个数构成的数列恰有个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
计算以下数列的逆序数．
；
；
已知数列，，，的逆序数为，求，，，的逆序数．
参考答案
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15.解：在中，由余弦定理得，
，
，
；
由知，
，，
在中，由正弦定理得，
即．
16.解：由的周长为，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为，所以，
．
所以椭圆的方程为：．
依题意，直线与轴不重合，
设的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，，
由韦达定理得，
又，，
则，
注意到，即：，
所以．
17.证明：由题意知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，
所以平面；
解：作，垂直为，由知，
平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，，
又，
所以，
即，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
则，
，
，
所以，，
设与平面所成角为，
所以，，
解得或，
由题意知，故．
18.解：函数，求导得，
由的图象在点处的切线方程为，得，
所以，．
由知，．
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
证明：由，得，
令，，依题意，，则，
设，由知在上单调递增，则，，
由，得，于是，
要证当时，，即证，
令，，求导得，
令，求导得，
函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递增，则当时，，即成立，
所以．
19.解：由，，，构成的逆序对有，，，，，，
若第一个数为，则至少有个逆序对；
若第二个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为；
若第三个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或．
综上所述，符合条件的数列组合有：
，，，，．
因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
(ⅱ)当为奇数时，，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为：
，
当为偶数时，逆序数为：
．
在数列，，，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，，中，逆序数为：
．
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