2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，且为实数，则( )
A. B. C. D.
3.设向量，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. 与垂直 D.
4.已知是函数的零点，若，则的值满足( )
A. B.
C. D. 的符号不确定
5.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )
A. B. C. D.
8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美如图，某屋顶可视为五面体，四边形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为为这个模型的轮廓安装灯带不计损耗，则所需灯带的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( )
A. 变量，之间呈现负相关关系 B.
C. 可以预测，当时，约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点
10.一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有( )
A. B. C. D.
11.直线与双曲线交于，两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则( )
A. 若，则 B. 若，则的面积为
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是______．
13.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离是，则 ______．
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲口袋中各装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个黑球和个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有个黑球的概率为则的值是______；的数学期望是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．
求证：；
求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求数列的通项公式．
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
椭圆的离心率为，短轴长为，点为椭圆的右顶点：，过点作的两条切线分别与椭圆交于，两点不同于点．
求椭圆的方程；
当变化时，直线，的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
19.本小题分
如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角以非负半轴为始边，所在射线为终边的角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式复数三角形式的乘法公式：．
棣莫佛提出了公式：，其中，．
已知，求的三角形式；
已知为定值，，将复数化为三角形式；
设复平面上单位圆内接正二十边形的个顶点对应的复数依次为，，，，求复数所对应不同点的个数．
参考答案
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15.解：证明：因为在直三棱柱中，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
则，
又在直三棱柱中，
所以四边形为正方形，则，
又因为，且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，．
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：，，
则，
当或时，；当或时，，
即函数在区间和区间上单调递增，在区间和区间上单调递减，
由时，不等式恒成立，
可得，
由知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为，
因为，
所以，
所以实数的取值范围为．
17.解：由，可得，两式相减可得，
由于为等比数列，可得，解得，
所以；
由可知，．
因为，所以，
假设在数列中存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列，
则，
即，
化简得
因为，，成等差数列，所以，从而可以化简为．
联立，可得，这与题设矛盾．
所以数列中不存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列．
18.解：因为椭圆的离心率为，短轴长为，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
直线，的斜率乘积为定值，理由如下：
由椭圆方程有椭圆右顶点，设直线，的斜率分别为，，
则直线的方程为，直线的方程为，
由直线与圆相切知，圆心到直线的距离为，
整理得，
同理，
则，为方程的两个根，
所以，即直线，的斜率乘积为定值．
设，，
联立，消去得，
方程的一个根是，则，所以，
所以，同理得，
所以直线的斜率
，
则直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点．
设椭圆上任意一点，点到点的距离．
当时，有最大值，
取，则直线的斜率为，
要使最大，此时由直线和直线垂直，
可得直线的斜率，
解得．
取，则直线的斜率为，
此时由直线和直线垂直可得直线的斜率，解得，舍去．
所以椭圆上存在点，当时，的最大值为．
19.解：
；
；
正二十边形每边所对的中心角为，设为常数，
则，
所以
，
由周期性可知，共有个不同的值，
故复数所对应不同点的个数为．
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