2024-2025学年河南省安阳市林州一中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年河南省安阳市林州一中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有人．
A. B. C. D.
2.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种
遗传性状都不出现的概率为则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为( )
A. B. C. D.
7.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为( )
A. B. ， C. ， D.
8.图是底面边长为的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图，若为正三角形，则图所示几何体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数为了了解中国人均单位：万元和总和生育率以及女性平均受教育年限单位：年的关系，采用近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，对应的决定系数分别为，，则( )
A. 人均和女性平均受教育年限正相关 B. 女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C. D. 未来三年总和生育率将继续降低
10.甲箱中有个黄球、个绿球，乙箱中有个黄球、个绿球这个球除颜色外，大小、形状完全相同，先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，记事件，，分别表示事件“取出个黄球”，“取出个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是( )
A. ，是对立事件 B. 事件，相互独立
C. D.
11.已知定义在上的函数满足，，且，则( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 函数是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为______．
13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为______．
14.已知函数在时取得极大值，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为．
求学生小杰获得奖品的概率；
已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望．
16.本小题分
如图，平面，，在平面的同侧，，，，．
若，，，四点在同一平面内，求线段的长；
若，平面与平面的夹角为，求线段的长．
17.本小题分
已知函数．
若，求在点处的切线方程；
若，是的两个极值点，证明：．
18.本小题分
已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，、、、分别是、、、的中点，平面．
求证：；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19.本小题分
年月，我国教育部发布了中小学实验教学基本目录，内容包括高中数学在内共有个学科多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴不妨设颗番石榴的大小各不相同，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．
设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为．
若，，求；
当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．
取
参考答案
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15.解：记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事
件：学生通过第轮且继续答题，
由题意得，，
记事件：学生获得奖品．则，
，
，
，
；
；
由题意可知，可取，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
16.解：，平面，平面，
平面，
，，，，四点共面，
平面，平面，平面平面，
，又，四边形是平行四边形，
．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
依题意，
解得，．
17.解：当时，，则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即；
证明：由，可知，
因为，是的极值点，
所以，是方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则．
要证成立，
只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证，
令，
则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
18.证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为，分别是、的中点，
所以，
所以平面，
又平面，所以．
解：连接，则，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以点到平面的距离为．
解：设，，则，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
整理得，即，
解得或舍，
所以，，
故在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且线段的长度为．
19.解：，时，设这颗番石榴的位置从第颗到第颗排序，有种不同排法，
要摘到最大的那颗番石榴，有以下两种情况：
最大的番石榴是第颗，其他的番石榴在任意的位置，共有种不同排法；
最大的番石榴是第颗，第二大的番石榴是第颗或第颗，其他的番石榴任意排法，有种不同排法；
综上，所求的概率值为；
记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第颗，
因为最大的番石榴出现在各个位置上的概率相等，所以，
以给定所在位置的序号为条件，则，
当时，最大的番石榴在前颗番石榴内，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前颗番石榴中的最大的一颗在前颗番石榴中时，此时；
由全概率公式知，；
设，其中，为常数；则，
令，得，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的最大值为；
所以，当时，取得最大值，最大值为，此时；
所以的最大值为，此时．
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