2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，前项和，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
4.马德堡半球实验是世纪年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在实验使用两个直径为英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在若把直径为英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为( )
A. 平方英寸 B. 平方英寸 C. 平方英寸 D. 平方英寸
5.已知向量，若满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若，且，则( )
A. B. C. D.
二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，如表为年年中国茶叶产量单位：万吨，根据该表，则( )
年份
产量
A. 年中国茶叶产量年增长率大于
B. 年年中国茶叶产量的极差是
C. 年年中国茶叶产量的分位数是
D. 年年中国茶叶产量的平均数大于
10.已知，且，则( )
A. 若，则 B. 若，则的最大值为
C. 若，则 D. 若，则
11.已知首项为的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则( )
A. 为等比数列 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，且点恰为的中点，则 ______．
14.在三棱锥中，，，二面角的大小为，则最小时，三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，：：：：．
求；
若点为的中点，且，求的面积．
16.本小题分
某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生
女生
合计
已知在这人中随机抽取人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．
请将上述列联表补充完整；
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取人，计抽取的人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：．
17.本小题分
已知椭圆的焦距为，且的离心率为．
求的标准方程；
若，直线：交椭圆于，两点，且的面积为，求的值．
18.本小题分
已知正四棱柱底面为边长为的正方形，，点，，分别在线段，，上，且，，点在线段上且．
求锐二面角的余弦值；
求平面将四棱柱分割成两个多面体的体积比．
19.本小题分
若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”．
若函数是类周期为的“类周期函数”，证明：是周期函数；
已知是“类周期函数”，求的值及的类周期；
若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个．
参考答案
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15.解：因为：：：：，
设，则，，联立解得，，，
所以由余弦定理得；
在中，，，，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
所以，，
因为，所以，
所以．
16.解：在这人中随机抽取人，抽到喜欢游泳的学生的概率为，
则喜欢游泳的学生人数为，列联表如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生
女生
合计
，
依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢游泳与性别有关联．
由题意可得，，所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：


故E．
17.解：由题意得：，即，则，
所以的标准方程为：．
由题意设，，
联立，消去得：，
则，，
可得，
设直线与轴的交点为，且，则，
故，解得．
18.解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系：
依题意可得，，，，，，
设，则，，
，，，解得，即，
易知平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量，
由，可得，取，
锐二面角的余弦值为：
，；
易知与位似，延长，，交于点，
则，
，，，
，
，
所求体积比为．
19.解：证明：因为是类周期为的“类周期函数”，
所以，
用代换得，
得，所以，
所以，所以是周期为的周期函数．
因为是“类周期函数”，
所以存在非零常数，使得对任意，都有，
即，
整理得，
所以，所以，，
所以，的类周期为．
因为奇函数是类周期为的“类周期函数”，
所以，且，
取，得，所以，
取，得，
所以，
因为，所以负值舍去，
所以，
设，则，
整理得，
所以，取．
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