2024-2025学年湖北省高中名校联盟高三（上）第一次测评数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省高中名校联盟高三（上）第一次测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则包含的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔米，而坝下通航最低水位为海拔米为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降假设每个闸室之间的水位差均可控制在至米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知一组数据，，，，，，，的第百分位数是，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如下，与其交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
7.长方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.设抛物线：的焦点为，过抛物线上的点作的切线交轴于点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是( )
A. 若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列
B. 若和是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列
C. 若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项
D. 若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项
10.如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则( )
A. 点在曲线上
B. 曲线的方程为
C. 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D. 若点在上，则
11.类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，，，定义球面的三个内角，，分别为二面角，，的平面角则下列说法正确的是( )
A. 若，球的半径为，则
B. 存在球面三角形，使得
C. 若，球的半径为，，，那么球面三角形的面积为
D. 若，是锐角且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量的夹角为，且，则 ______．
13.的展开式中的系数为______．
14.已知函数，其中，当两函数图象对应曲线存在条公切线时则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，．
若与交于点，且，求的长；
求四边形周长的最大值．
16.本小题分
已知椭圆经过点，右焦点为．
求椭圆的方程；
若直线与交于，两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．
17.本小题分
如图，直角梯形中，、分别为、边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点．
证明：平面；
当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值．
18.本小题分
为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为，但为保证抽查量，设定前辆车经过该路口都没有被抓拍时，第辆车必被抓拍假设汽车依次通过该路口．
从某一时刻开始，记第辆车经过该路口时被抓拍的概率为，求，，；
当任意连续有辆车经过该路口时，表示辆车均未被抓拍的概率，表示第辆车未被抓拍，且第辆车被抓拍的概率，表示第辆车被抓拍，且第辆车未被抓拍的概率，表示辆车均被抓拍的概率．
试用和表示
求，，，的值．
19.本小题分
牛顿法是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值重复以上过程，得的近似值序列：，，，，根据已有精确度，当时，给出近似解对于函数，已知．
若给定，求的二阶近似值；
设
试探求函数的最小值与的关系；
证明：．
参考答案
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15.解： 中，由余弦定理得，
所以，
因为，，
所以．
由可知，，
所以．
因为，所以，
，故，
当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．
16.解：由已知，
解得，，
所以椭圆方程为．
由于，的斜率互化相反数，不妨设的斜率为，的斜率为．
则的方程为，
联立，
故，
又，
所以，
进而，
用代入可得，
所以中点的坐标为
由于，
所以在直线上，
所以点与的最小距离即是点到直线的距离，
当且当且仅当时取得最小值．
17.解：证明：取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，，四边形为正方形，
为的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面；
连接，则，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，面，
平面，
，，
，，
，为等边三角形，
则，
，，，，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令，，
，令，，
设平面与平面的夹角为，
则，，
平面与平面的夹角的正切值为．
18.解：记事件“第辆车经过路口时被抓拍”为，，，，，
则，
，
；
由已知对应事件“两辆车均未被抓拍”的前一状态只能为所对应事件，故，
同样可得；
由全概率公式可得，又，，
解得．
19.解：函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以．
由知，，则，
，求导得，
令，求导得，在上单调递增，
函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值．
证明：由知，，令，，求导得，
令，，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以．
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