2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三（上）联考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三（上）8月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，则( )
A. B. C. D.
4.若的二项展开式中，当且仅当第项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆台的底面半径分别是和，且，，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为偶函数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：和圆：，点是抛物线的焦点，圆上的两点，满足，，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某公司为保证产品生产质量，连续天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：，，，，，，，，，，则关于这组数据的结论正确的是( )
A. 极差是 B. 众数小于平均数
C. 方差是 D. 数据的分位数为
10.已知正方体的棱长为，在矩形内包括边界的动点始终满足与平面所成的角是，则下列结论正确的是( )
A. 多面体的体积为
B. 动点运动轨迹的长度为
C. 不存在点，使得平面平面
D. 在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是
11.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是( )
A. 关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则的面积是______．
13.数列是等差数列，且满足，则 ______．
14.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，平面平面，点在上，．
求：的值；
若四棱锥的体积是，求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，．
若，求过原点且与相切的切线方程；
若关于的不等式对所有成立，求的取值范围．
17.本小题分
某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额单位：元服从正态分布为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动对于每一类题，答错得分，答对得分，两类题总分分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金单位：元每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．
若某天有位进店消费的顾客，请估计该天消费额在内的人数结果保留整数；
附：若，则，．
某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，类题中的两次答题机会答对的概率都是，类题中的两次答题机会答对的概率都是且每次答题相互独立若答题结束后可减免的现金数额为元，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
椭圆：的上顶点到右顶点的距离为，椭圆上的点到焦点的最短距离是，点为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
求的方程；
直线，分别交直线于，两点，且，求直线的斜率．
19.本小题分
若项数为的数列满足两个性质：，；存在，使得，并记是的最大项，则称数列具有性质．
若，，写出所有具有性质的数列；
若，，求的最大项的最大值；
若，，且满足以下两条性质：对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；(ⅱ)对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得求满足上述性质的的最小值．
参考答案
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15.解：证明：过点作直线于点，
因为平面平面，
所以平面，
平面，所以，，
所以，
由四边形是直角梯形，且，，，
在直角中，，可得，
从而是等边三角形，，，
所以，
从而，，
所以：：；
因为，所以是的中点，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以，，
所以．
以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
在等边中，，如图，
，，，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，则，
解得，，
则，
令得，，
而是平面的一个法向量，
所以二面角的余弦值．
16.解：若，则，，
设过原点的切线与曲线的切点横坐标是，则切线斜率，
切线方程是，
因为切线过原点，所以，
解得，所以切线方程是．
首先注意到，，，，
若，则在时恒成立，故单调递减，
则对所有，，不满足题意，故舍去；
若，则，
令得，，令得．，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则不满足题意，故舍去；
若，则，即，
所以在上单调递增，则对所有，，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
17.解：由题意，
若某天该商场有位顾客，
则估计该天消费额在内的人数为；
由题意可知，的取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：


数学期望．
18.解：由题意可得，即，
又，，解得，，，
则椭圆的方程为；
设过点且斜率为的直线为，
与椭圆方程联立，可得，
，
设，，可得，，
由，，三点共线，可得，可得，
同理可得，
由，可得
，
化为，解得满足．
19.解：有三种结果：，，，或，，，或，，，；
当时，由，
累乘得；
又由，，，，，，
累乘得；
将相乘得，又，，所以，
所以数列的最大项的最大值为，满足条件的数列为：
；
讨论项数满足的情况：
因为数列满足：当时，，，所以，
又因为当，都有，所以或，
当时，，此时，这与在剩下的项中总存在满足的项和，
使得矛盾，所以，类似的，必有，，，；
由，得前项任意两项之积小于等于时，均符合，要使得值要尽量小，则需要每项尽可能大，
且则，，
同理，，，，，由对称性得最后项为，
，
当中间各项为公比为的等比数列时，可使得值最小，且的最小值为满足已知条件．
讨论项数满足的情况：
类比可知，，，，，，
，，，，
综上所述，的最小值为．
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