2024-2025学年湖南省长沙市望城六中高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市望城六中高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度得的图象，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是图象的一条对称轴
C. 的图象关于点对称 D.
E.
10.为虚数单位，复数，则( )
A. B.
C. D.
11.已知矩形中，，沿着折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是( )
A. 在翻折的过程中，、、、四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为
B. 存在，使得
C. 当时，
D. 当时，直线与直线的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.所有棱长都为的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为______．
13.双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与的左支和右支分别交于，两点，若轴上存在点使得的角平分线过，且满足，则的离心率为______．
14.对于定义域和值域均为的函数，定义，，，，，，，满足的点称为的阶周期点设则的阶周期点的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
若圆的半径为，求实数的值；
在条件下，设，，若圆是的内切圆，求面积的最大值．
16.本小题分
如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
瓯江是温州、丽水人民的母亲河，为了体现“绿水青山”理念特举办游渡瓯江活动，现调查发现：比赛区域的瓯江江流平均宽度即起点处到对岸的垂直距离，一名游泳爱好者室内游泳平均速度为在热身环节时，游泳爱好者一直沿方向游去，在下游处上岸，距离处．
假设水流匀速，求水流速度多少？
比赛规定，运动员上岸点距离处不超过时成绩有效．活动时，该游泳爱好者保持方向不变游泳前进记运动员游泳前进方向与的夹角记为，为比赛成绩最好，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若时，恒成立，求实数的取值范围；
将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像若，函数有且仅有个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知无穷数列满足，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数是正整数．
求数列的通项公式；
在无穷等比数列中，，，试找出一个的具体值使得数列的任意项都在数列中；试找出一个的具体值，使得数列的项不都在数列中，简要说明理由；
对问题继续进行研究，探索当且仅当取怎样的值时，数列的任意项都在数列中，说明理由．
参考答案
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15.解：由题设，圆的标准方程为，由圆的半径为，
，即．
由题意，设直线为，直线为，则，
，又，
到、的距离都为，
，，得，
，则，
，则，
，则面积的最大值为．
16.证明：菱形与正三角形的边长均为，它们所在平面互相垂直，
作，交于，且，
平面，且，
，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
解：，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：渡河所需的时间，所以．
设为了使比赛成绩最好，需在下游处上岸，，
因为，所以游泳前进的方向必须朝上游，如图所示，设，
此时，即，
作平行四边形，其中，，所以，
在中，由正弦定理，知，即，
所以，
又，
所以，故，
所以．

18.解：因为，
所以的最小正周期．
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为．
由题意，函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有个零点，则满足，解得，
所以实数的取值范围．
19.解：数列为无穷递缩等比数列，它的各项和为，
又．
，而，．
，而，且为等比数列．
如取，则，而．
在数列中，如取，此时，
，显然不在中．
当取奇数时，设时，则不是整数，
不在数列中，以此类推，当为奇数时，中的任意项都不是中的项．
当取偶数时，设时，中任意项都是中的项．
证明：
，
它是中的第项．
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