2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知母线长为的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.记的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.记抛物线：的焦点为，点在上，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.记，为随机事件，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的部分图象如图所示，点，，是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.北京时间年月日，我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，，，，，，，则( )
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的分位数为
C. 该组数据的平均数为
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知首项为的数列满足，记的前项和为，则( )
A. 可能为等差数列 B.
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为，则( )
A. B. 函数是减函数
C. 点可能在以为直径的圆上 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：______．
不是常函数
的最小正周期为
不存在对称中心
14.已知双曲线的左，右焦点为，，过的直线交的右支于点，点在点上方，，过点作直线，交于点点在第二象限，若直线与直线的交点在直线上，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆过点和．
求的离心率；
若直线：与有且仅有一个交点，求的一般式方程．
16.本小题分
中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性、战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份
新能源汽车购买数量万辆
计算与的相关系数保留三位小数；
求关于的线性回归方程，并预测该地区年新能源汽车购买数量．
参考公式．
参考数值：．
17.本小题分
如图，三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，．
证明：；
若二面角的余弦值为，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
求的极值；
讨论的单调性；
若存在两个极值点，，讨论和的大小关系．
19.本小题分
对于一个非零整数和质数，我们称中含的幂次为，定义为最大的非负整数，使得存在非零整数，有，例如，等等且补充定义一个非零有理数的，如，，且规定现在对于任意一个有理数，我们定义其的“示数”为，其中，规定记两个有理数，的“示数距离”为．
计算，，；
证明对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数，使；
给定质数，若一个无穷集合中任意一数列，对于任意，，则我们称集合是“一紧致的”是否存在质数，使得整数集是“一紧致的”？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.不唯一
14.
15.解：因为椭圆过点和，
所以，解得，
由，得，
所以的离心率；
由可得的方程为：，
联立，得，
由，得，
直线的一般式方程为：．
16.解：，
，，
所以；
由知，，
所以关于的线性回归方程是，
当时，万辆，
该地区年新能源汽车购买数量约为万辆．
17.证明：侧面是边长为的正方形，
，，，
侧面是平行四边形，
，
在中，由余弦定理得，，
即，解得，
，即，
又，，平面，
平面，
平面，
．
解：取的中点，连接，，
，，
，，
为二面角的平面角，
由知平面，
，
平面，
又平面，平面平面，
记二面角为，则，
，即，
，
在中，，
，
．
18.解：，时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取到极小值，没有极大值．
情形一 若，可得恒成立，且，
时，，故在单调递减；
时，，故在单调递增；
情形二 若，，则，
在单调递增；
情形三 若，令，解得或，
又由知当时，可得，
时，，故在单调递减；
和时，，故在和单调递增．
综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增；
若，，在单调递增；
若，时，单调递减，和时，单调递增．
由知，只能是，，
由，则，解得且，
又当时，，，由在上单调递减可知；
当时，，，由在上单调递增可知
综上所述，时，；时，
19.解：因为，，
所以，
因为，
所以，．
证明：我们取，则为非整数的正有理数，
，
故成立；
不存在质数，使得整数集是“一紧致的”理由如下：
取，，
则，
，
故，而，
所以不存在质数，使得整数集是“一紧致的”．
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