2024-2025学年河南省郑州市宇华实验学校高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市宇华实验学校高三（上）8月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知实数，，满足且，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在棱长为的正方体中，直线与的距离为( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知为复数，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若样本空间中的事件，，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知，均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线与平面所成角为定值
C. 点的轨迹的周长为
D. 三棱锥体积的最大值为
11.对于函数，，则下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值
B.
C. 只有一个零点
D. 若方程恰好只有一个实数根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一批小麦种子的发芽率是，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，否则需要补种，则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于
13.已知函数的最小正周期为，若，且是的一个极值点，则 ______．
14.过点作斜率为的直线交圆：于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
各项都为整数的数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．
求数列的通项公式；
求出所有的正整数，使得．
16.本小题分
如图，正方体．
求证：面；
若为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小．
17.本小题分
书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年月日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，估计这年经人每天阅读时间的平均数单位：分钟；同一组数据用该组数据区间的中点值表示
若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取人，再从中任选人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则；；．
18.本小题分
已知圆：，圆：动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设不经过点的直线与曲线相交于，两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ若对于任意，都有，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：设数列前项的公差为，为整数，则，，为整数，
又，，成等比数列，
，解得，
当时，，
由此，，数列从第项起构成以为公比的等比数列．
当时，，
故通项公式为；
由知数列为：，，，，，，，，，
当时等式成立，即，等式成立；
当时等式成立，即，等式成立；
当、时等式不成立；
当时，即，．
．
故所求的，或．
16.证明：因为为正方体，
所以四边形是正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又，，是平面内的两条相交直线，
所以面；
如图，以为原点，以，，所在直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为，又为线段的中点，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则由，
令，，所以，
设平面与平面所成锐二面角的大小为．
所以，
又，所以，
平面与平面所成锐二面角的大小为．
17.解：估计频率分布直方图可得，；
由题意可知，，
所以；
由于，和的频率之比为：：，
故抽取的人中，和的人数分别为，，人，
所以随机变量的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：


则．
18.解：设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切，
所以．
因为动圆于圆外切，
所以，
此时，
由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，
可得，，
则，
故曲线的方程为；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，
即．
由韦达定理得，
因为，
所以，
可得，
此时，
即，
因为，
所以，
整理得．
因为，
所以，
解得，
则直线的方程为，
故直线过定点；
当直线斜率不存在时，设直线的方程为，且，
此时，
所以，
解得，
则直线的方程为，
此时直线过定点．
综上所述，直线过定点．

19.解：Ⅰ因为函数，
所以，
，又因为，
则所求切线斜率为，切点坐标为，
所以在点处的切线方程为；
Ⅱ函数的定义域为，
由Ⅰ可知，，
由，解得，
由，解得，
所以的单调递增区间是，
的单调递减区间是；
Ⅲ当时，恒成立，
等价于恒成立，
令，，
，．
当时，，
所以在区间单调递减；
当时，，
所以在区间单调递增．
而，
．
所以在区间上的最大值为，
所以当时，对于任意，都有．
实数的取值范围为．
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